Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник OBFCDAE (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(2,1) с началом координат О (0,0).

3. Построим некоторую линию уровня 2x1 + 1x2 = а. Пусть, например, а = 0. На рис.1 такой линии уровня отвечает прямая Х, перпендикулярная вектор-градиенту.

4. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня Х в направлении вектор-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня Х являются соответственно точка A и точка B. Далее она выходит из ОДР.

X

F

B

E

D

C

Рис. 1

Определим координаты точки A, являющейся точкой пересечения третьей прямой и оси абсцисс:

2x1 – 2,5x2 = 10

х2 = 0

х1 = 5

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 5; x2 = 0 максимальное значение, равное f(x1, х2) = 5´2 + 0´1 = 10.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения первой прямой и оси ординат:

x1+x2 = 3

х1 = 0

х2 = 3

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 0; x2 = 3 минимальное значение, равное f(x1, х2) = 0´2 + 3´1 = 3.

2.1.

min f(X) = x1 - 4x2

x1 + x2 ≤ 5

3x1 - x2 ≤ 3

x1,2 ≥ 0

Решение.

После приведения к канонической форме получим

f(X)=x1 -4x2 +0*x3 +0*x4 максимизируется

Ограничения приобрели следующую форму:

1*x1 +1*x2 +1*x3 +0*x4 =5

3*x1 -1*x2 +0*x3 +1*x4 =3

В результате получим следующую симплекс-таблицу:

Ci/Cj

Базис

А1

А2

А3

А4

А3

А4

-1

дельта

-1

А3

1,33333

-0,33333

А1

-0,33333

0,33333

дельта

3,66

0,33

решение достигнуто при х1 = 1 и х2 = 0 и равно 1.

2.2.

max f(X) = (x1 - 24x2 + 12x3)

-x1 - 3x2 + 2x3 ≤ 1

-x1 + 4x2 – x3 ≥ 2

x1,2,3 ≥ 0

Решение.

После приведения к канонической форме получим

f(X)=1*x1 -24*x2 +12*x3 +0*x4 +0*x5 +0*x6 максимизируется

Ограничения приобрели следующую форму:

-1*x1 -3*x2 +2*x3 +1*x4 +0*x5 +0*p1 =1

-1*x1 +4*x2 - 1*x3 +0*x4 -1*x5 +1*p1 =2

В результате получим следующую симплекс-таблицу:

Ci/Cj

Базис

А1

А2

А3

А4

А5

А4

-1

-3

-0,333333333333333

-m

-1

0,5

дельта

m-1

-4m+24

m-12

2,5

А4

-1,75

1,25

-0,75

-24

0,5

А2

-0,25

-2

дельта

-6

А3

-1,39999

0,8

-0,59999

-1,42857142857143

-24

А2

-0,59999

0,2

-0,4

-1,66666666666667

дельта

-3,4

4,8

2,4

решения нет, так как Q<0

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов

Нормы расхода ресурсов на ед. продукции

Запасы ресурсов

I вид

II вид

III вид

Труд

2000

Сырье 1

15000

Сырье 2

7400

Оборудование

1500

Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: X1 = 520, X2 = 0, X3 = 110.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения X2;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запаса сырья 1 на 24 ед.;

5) определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение:

Обозначим через хj, j =1,3- объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум прибыли»:

max (6x1+10x2 + 9x3)

3x1 + 6х2 + 4х3 £ 2000

20x1 + 15х2 + 20х3 £ 15000

10x1 + 15х2 + 20х3 £ 7400

3х2 + 5х3 £ 1500

xj³0, j=1,2,3.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом X* = (x1 = 520,x2 = 0,х3 = 110) :

3*520 + 6*0 + 4*110 = 2000

20*520 + 15*0 + 20*110 =12600 < 15000 (*)

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400

3*0 + 5*110 =550 < 1500

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 6x520 + 10x0 + 9x110 = 4110.

Двойственная задача имеет вид:

min (2000y1+15000y2 +7400у3+1500y4)

3у1+20y2+10y3³6

6y1+15y2+15y3+3y4³10

4y1+20y2+20y3+5y4³9

y1,2,3,4³0.

Для нахождения оценок у1, у2, у3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и четвертое ограничения в (*) выполняется как строгое неравенство, то у2 = 0, у4 = 0. Так как х1 > 0 и x3 > 0, то:

3y1* + 20y2* + 10y3* - 6 = 0

4y1*+ 20y2* + 20y3*+5y4* - 9 = 0.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y2* = 0

y4* = 0

3y1* + 20y2* + 10y3* = 6

4y1*+ 20y2* + 20y3*+5y4* = 9.

т.е. y1* =3/2, y2* = 0, y3* = 3/20, y4* = 0.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

2000y1+15000y2 +7400у3+1500y4

j(Y) = 2000x3/2 + 15000x0 + 7400x3/20 + 1500x0 = 4110, т.е. f(X*) = j(Y*) = 4110.

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В рассматриваемом примере увеличение фонда труда на 1 час привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 1,5 (у1 = 3/2), а увеличение сырья 2 не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли.

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В данном примере недефицитным ресурсом является сырье 1 поскольку у2 = 0 и оборудование, поскольку y4=0.

Острее ощущается дефицитность труда (у1 = 3/2) - он более дефицитен, чем сырье 2 (у3= 3/20).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) 3/20 : 3/2 = 1:10.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если - выгодно,

если Dj > 0 - невыгодно.

Предположим в рассматриваемом примере следует решить вопрос о целесообразности включения в программу изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

С учетом сказанного будем иметь в двух рассматриваемых случаях:

8*3/2+4*0+20*3/20+6*0-11 = 4>0 - невыгодно расширение ассортимента;

Ответим на вопрос, как изменится объем выпуска продукции и прибыль от ее реализации, сырье 1 увеличится на 24 ед.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок имеем:

20x1 + 15*0 + 20х3 = 15024

Отсюда определяется что в новых производственных условиях задача решения не имеет, то есть прибыль не изменится, а сырья 1 будет при этом избыток.

Оптовый склад обслуживает 30 предприятий-потребителей материалов. Каждое из предприятий направляет на склад автомашину в среднем один раз в смену (смена - 8 ч). Средняя продолжительность погрузки одной автомашины составила 48 мин, т.е. 0,1 смены. Погрузка осуществляется кранами. Потери склада, связанные с простоем крана (включая крановщика и стропальщиков) из-за отсутствия автомашин, равны 5 у.е./ч.

Прибывшая на склад автомашина становится в очередь, если все краны заняты погрузкой других автомашин. При этом склад оплачивает предприятиям расходы, связанные с простоем на складе их автомашин и шоферов в очереди под погрузку, из расчета 2,6 у.е. за час простоя автомашины и шофера.

Отсюда следует m=30, l=1, tоб=0,1.

Определите:

1) оптимальное количество необходимых складу кранов, при котором суммарные ожидаемые потери склада, связанные с простоем кранов (из-за отсутствия автомашин) и простоем автомашин в очереди, были бы минимальными;

2) коэффициент простоя крана;

3) среднее число автомашин, находящихся в очереди (длину очереди);

4) коэффициент и среднее время простоя автомашины в очереди.

Решение.

Так как из условия следует, что для полного обслуживания 30 машин требуется как минимум 3 крана, то при расчетах количества кранов n примем n от 3 до 7. Получим:

При n=3 рассчитаем Pk при k от 0 до 30 по формулам Pk= akP0, (1 £ k £ n), где и Pk=akP0, (n£k£m), где Затем, так как , то мы найдем, что P0=1/28,97257374=0,034515401. Отсюда найдем P1-30 и по формуле , где найдем коэффициент простоя автомобиля. Далее по формуле , где найдем коэффициент простоя крана. Тогда потери от простоя кранов и автомашин будут равняться 2,6´30´a1+5´n´a3=7,68 у.е.

Pk*p0

(k-n)Pk

(n-k)Pk

0,034515

0,103546

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Рефераты

Экономико- математические методы и прикладные модели (вариант 10)

Экономико- математические методы и прикладные модели (вариант 10)

X F B E D C

Рис. 1

X

F

B

E

D

C