Финансовая математика (19 задач с решениями)

Финансовая математика (19 задач с решениями)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский институт финансов и банковского дела

Кафедра: NNN

Контрольная работа

по дисциплине: Финансовая математика

Вариант: 2

Выполнил:                                                                Руководитель:

Студент группы NNN-NNN                                    ст. преп.

Nnnnnnnn N.N.                                                         Волынская О.А

Новосибирск 

2004

Задача 1

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10 000 руб. достигнет через 180 дней суммы 19 000 руб.

     Дано:                                                           Решение:

PV = 10 000 руб.                        Вывод формулы для простой ставки процентов:  

FV = 19 000 руб.                       

t = 180 дней                               

T = 360 дней                               

_________________                        

i - ?

Ответ: простая ставка процентов равна 180%.

Задача 2

Кредит в размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.

       Дано:                                               Решение:

PV = 15 000 руб.                 Размер долга:

i = 24% = 0,24                     ;

__________________         1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.

FV – ?                                     (дней)

I – ?                                        (руб.)

 2) «французская практика»: T=360 дней.

 (дней)

 (руб.)

3) «германская практика»: T=360 дней.     

 (дня)

 (руб.)

Ответ: размер долга составляет:

- согласно «английской практике»:   17 031,781 руб.;

- согласно «французской практике»: 17 060 руб.;

- согласно «английской практике»:   17 020 руб.

Задача 3

Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15 000 руб.(простые проценты)

Дано:                                                Решение:

                     Сумма начисленных процентов: 

                    ;

T = 1 год = 360 дней          

PV = 15 000 руб.                 Сумма к возврату:

= 30×3 = 90 дней                 

__________________          

FV - ?                                    = 19 275 (руб.)

Ответ: сумма к возврату в банк составит 19 275 руб.

Задача 4

Договор вклада заключён сроком на 2 года и предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада 15 000 руб., годовая ставка 16%. Рассчитать сумму на счёте клиента к концу срока.

           Дано:                                                Решение:

PV = 15 000 руб.                Сумма на счёте клиента к концу срока:

n = 2 года                          

j = 16% = 0,16                    

m = 2                                   = 20 407,334 (руб.)

________________

FV - ?

Ответ: сумма на счёте клиента к концу срока составит 20 407,334 руб.

Задача 5

Владелец векселя номинальной стоимости 19 000 руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 дней до платежа. Банк учёл его по ставке 60% годовых. Определить дисконтированную величину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.

Дано:                                                        Решение:

FV = 19 000 руб.                 Величина дисконта:

T = 1 год = 360 дней             

t = 60 дней                             (руб.)

n = 1 год                               Сумма, полученная владельцем векселя:

d = 60% = 0,6                        PV = FV – D ;

________________               PV = 19 000 – 1 900 = 17 100  (руб.)

D - ?    PV - ?

Ответ: - величина дисконта равна 1 900 руб.;

            - сумма, полученная владельцем векселя, равна 17 100 руб.

Задача 6

Определить значение годовой учётной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 24% годовых (n = 1 год).

           Дано:                                      Решение:

i = 24% = 0,24                Эквивалентная годовая учётная ставка:

n = 1 год                           ;

______________             

 - ?

Ответ: эквивалентная годовая учётная ставка равна 19,4%.

Задача 7

На вклады ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой ставке 16%. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы 19 000 руб.

Дано:                                         Решение:

FV = 19 000 руб.                  Сумма вклада:                                                                   

j = 16% = 0,16                       

m = 4                                     

n = 1,5 года = года             = 15 015,976  (руб.)

_________________

PV - ?

Ответ: сумма вклада равна 15 015,976 руб.

Задача 8

Банк предлагает долгосрочные кредиты под 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов, 26% годовых с полугодовым начислением процентов и 20% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

Дано:                                              Решение:

 n = 1 год                        Эффективная процентная ставка:

1) m = 4                        

 j =24% = 0,24                при n=1 год:   ;

 2) m = 2                           

 j =26% = 0,26                 

3) m = 12                        

 j = 20% = 0,2

_________________

- ?   - ?  - ?

Ответ: выдача кредитов под 26% годовых с полугодовым начислением процентов банку выгоднее, т.к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).

Задача 9

Банк выдаёт кредит под 24% годовых. Полугодовой уровень инфляции составил 3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.

Дано:                                                    Решение:

n = 1 год                       Индекс цен:

i = 24% = 0,24             

= 3% = 0,03          

N = 2                             Реальная годовая процентная ставка:

______________         

- ?                           

Ответ: реальная годовая ставка процентов равна 16,9%.

Задача 10

Какую ставку процентов по вкладам нужно назначить, чтобы реальная доходность вклада с учётом инфляции 3% была 10% годовых?

       Дано:                                                         Решение:

 = 3% = 0,03                Вывод формулы для процентной ставки:

n = 1                               

= 10% = 0,1                

________________        

i - ?

Ответ: нужно назначить ставку процентов по вкладам, равную 13,3%.

Задача 11

Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3%.

          Дано:                                            Решение:

                Индекс цен:

  N = 12 месяцев              

 ________________         

  - ?                            Уровень инфляции:

  - ?                              

Ответ: уровень инфляции за год равен 42,6%.

Задача 12

Вклад 15 000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 72% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 3%.

                Дано:                                  Решение:

PV = 15 000 руб.                   Реальная покупательная способность вклада через

j = 72% = 0,72                       определённое время:

m = 12 месяцев                      

n = 6/12 года                          

p = 3% = 0,03                          (руб.)

N = 6 месяцев                        Реальный доход вкладчика:

___________________          

 - ?                                      (руб.)

Ответ: реальный доход вкладчика равен 2 819,811 руб.

Задача 13

Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S1=19 000 руб., S2=20 000 руб., S3=21 000 руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S4=22 000 руб. в конце 2-го года и S5 в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S5.

Дано:   

                                                                                                                     суммы платежей,

           S1=19 000    S4 =22 000     S2=20 000       S5 - ?       S3=21 000      руб.

|__________|__________|__________|__________|__________|

0                  1                   2                   3                   4                   5            сроки платежей,

                                                                                                                      годы

                         наращение                                         дисконти-

рование

          Рис. 1. Исходный и новый графики платежей

На рис.1 отмечены: полужирным шрифтом – исходный график платежей, курсивом – новый график платежей. Моментом приведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы :  4 года.

Решение:

Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны, если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежей одного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту же дату при неизменной ставке процентов:

Коэффициент приведения (наращения или дисконтирования):

где:  n – число лет до момента приведения:

                                                n = n0 – ni  ,

где:  ni  - срок  i-го платежа.

при  - коэффициент наращения;

при  - коэффициент дисконтирования;

при

 (руб.)

Ответ: сумма второго платежа по новому графику платежей равна 38 739,875 руб.

Задача 14

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 5% годовых для создания через 6 лет фонда в размере 19 000 000 руб.

          Дано:                                            Решение:

i = 5% = 0,05                                Размер ежегодных платежей:

n = 6 лет                                      

FVA = 19 000 000 руб.                 (руб.)

_____________________

R - ?

Ответ: размер ежегодных платежей равен 2 793 331,894 руб.

Задача 15

Рассчитать величину фонда, который может быть сформирован за 2 года путём внесения в конце каждого года сумм 19 000 руб. Проценты на вклад начисляются по ставке 5%.

              Дано:                                      Решение:

R = 19 000 руб.                      Величина будущего фонда:

n = 2 года                                

i = 5% = 0,05                            (руб.)

____________________

 FVA - ?

Ответ: величина будущего фонда равна 38 950 руб.

Задача 16

Ежемесячная арендная плата за квартиру составляет 1 800 руб. Срок платежа – начало месяца. Рассчитать величину равноценного платежа, взимаемого за год вперёд. Ставка банковского депозита 48% годовых.

Дано:                                        Решение:

R = 1 800 руб.                Авансовая приведённая сумма аренды:

j = 48% = 0,48              

m = 12                            

n = 1 год                        

________________         (руб.)

- ?

Ответ: равноценный платёж, взимаемый за год вперёд, равен 17 568,858 руб.

Задача 17

Двухлетняя облигация номиналом 1 000 руб. имеет 4 полугодовых купона доходностью 20% годовых каждый. Рассчитать цену её первоначального размещения, приняв ставку сравнения 16%.

              Дано:                                 Решение:

  n = 2 года                   Цена первоначального размещения облигации:

  N = 1 000 руб.            

  m = 2                          

  j = 16% = 0,16            

  q = 20%                      1 066,243 (руб.)

 ______________

   P - ?

Ответ: цена первоначального размещения облигации равна 1 066,243 руб.

Задача 18

Бескупонная облигация куплена на аукционе по курсу 40 и продана по курсу 58 через 90 дней. Рассчитать доходность вложения по схеме сложных и простых процентов.

    Дано:                                    Решение:

                              1)  доходность по схеме простых процентов:

 дней                          

 Т = 360 дней                    2)  доходность по схеме сложных процентов:

________________                 

Y - ?      - ?                         

Ответ: - доходность по схеме простых процентов равна 180%;

            - доходность по схеме сложных процентов равна 342,1%.

Задача 19

Представить план амортизации 5-летнего займа в 1 500 000 руб., погашаемого:

1)    равными суммами;

2)    равными срочными уплатами.

Процентная ставка по займу 5%.

          Дано:

i = 5% = 0,05

n = 5 лет

PVA = 1 500 000 руб.

1)    амортизация займа, погашаемого равными суммами

Сумма погашения основного долга:

 (руб.)

Сумма срочной уплаты:

Остаток долга на начало периода:

Таблица 1

План амортизации займа, погашаемого равными суммами