Очевидно, что дек обладает большей общностью, чем стек и очередь; он имеет некоторые общие свойства с каждой из этих структур. Существуют деки с ограниченным входом (реестры) и выходом (архивы). В таких деках соответственно включение и исключение допускается только в одном конце.

Строго говоря, при работе с деками достаточно иметь ссылку на один любой элемент. Однако для удобства создадим процедуру, при выходе из которой есть ссылки на оба конца дека:

procedure FORMIR_DEK_1(var L, R: SS);

var Z: SS; EL: integer;

begin

¦ new(L); read(L^.elem);

¦ L^.pred:= nil; R:= L; Z:= L;

¦ WHILE R^.elem <> 0 do

¦ begin

¦ ¦ new(R^.next); R:=R^.next;

¦ ¦ read(r^.elem); R^.pred:= Z; Z:= R;

¦ end;

¦ R^.next:= nil; readln;

end.

ПРИМЕЧАНИЕ. В рассмотренном примере для образования дека используются три ссылочные переменные: L - начало дека, R - конец дека, Z - промежуточное звено. Однако эта программа может быть упрощена за счет использования более сложных ссылок типа R^.NEXT^.ELEM и R^.NEXT^.PRED.

Рассмотрим подробно эти объекты. Пусть ссылочная переменная Z указывает на текущее звено дека:

		Звено 1	Звено 2
X	*	next		next	…
	…	pred		pred
		ELi		ELi+1

При таких обозначениях динамическая переменная Z^.NEXT^.ELEM означает числовое поле звена 2 (т.е элемент ELi+1), а переменная Z^.NEXT^.PRED - поле PRED звена 2. Учитывая эти соображения, представим программу формирования дека следующим образом:

procedure FORMIR_DEK_2(var L, R: SS);

begin

¦ randomize; new(L);

¦ L^.elem:= random (10);

¦ L^.pred:= nil; R:= L;

¦ while R^.elem <> 0 do

¦ begin new(R^.next);

¦ ¦ R^.next^.elem:= random(10);

¦ ¦ R^.next^.pred:= R; R:=R^.next

¦ end;

R^.next:= nil

end.

Для дека справедливы те же операции, что для очереди и стека - вставка и удаление звеньев.

Для процедуры вставки в дек, как и в любой другой линейный список, необходимы два параметра: X - звено, после которого (перед которым) надо поместить элемент, и Y - вставляемое звено. Схема вставки остается такой же, как, например, в очереди, но в деке после включения нового звена нужно установить две связи - на последующий и предыдущий элементы.


		ELi		Z	*	ELi+1
X	*	*				*
	…	*	Y	*		*	…

				EL
				*
				*

Рассмотрим предварительно схему связи между звеньями дека в процессе вставки нового элемента:

ОПЕРАТОРЫ

ПОЯСНЕНИЕ

Z

X

Elx

Elz

*

*

Y^.next:=X^.next;

*

Y

Ely

*

*

*

Z

X

Elx

Elz

*

*

Y^.pred:=X;

*

Y

Ely

*

*

*

Z

X

Elx

Elz

X^.next:=Y;

*

*

*

Y

Ely

*

*

*

Z

X

Elx

Elz

*

*

*

Y

Ely

*

Y^.next^.pred:=Y;

*

*

Процедура вставки нового звена Y в дек после звена X принимает вид:

procedure VSTAVKA_V_DEK_POSLE(X, Y: SS);

begin

¦ Y^.next:= X^.next;

¦ Y^.pred:= X;

¦ X^.next:= Y;

¦ Y^.next^.pred:= Y;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы рассмотрели теперь процедуры вставки нового звена во все виды линейных списков с односторонней связью (цепочки, очереди, стеки) и в дек. Однако во всех этих процедурах новое звено вставлялось ПОСЛЕ указанного звена (в стеке - в вершину, в очереди - в хвост). Конечно, можно в односвязном линейном списке поставить новый элемент и ПЕРЕД указанным, но это требует некоторых дополнительных операций. Например, можно новый элемент поместить в следующее звено, а затем произвести обмен информационными полями. В деке же возможна прямая вставка звена ПЕРЕД указанным с использованием ссылки PRED. В результате получаем:

procedure VSTAVKA_V_DEK_PERED(X, Y: SS);

begin

¦ Y^.next:= X^.pred^.next; X^.pred^.next:= Y;

¦ Y^.pred:= X^.pred; X^.pred:= Y;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. При вставке нового звена Y в дек относительно X следует учитывать, что на момент применения рассмотренных процедур звенья X и Y уже сформированы и значения этих ссылочных переменных определены. Так, например, звено Y можно сформировать следующим образом:

NEW(Y); Y^.NEXT:= NIL; Y^.PRED:= NIL; READ(Y^.ELEM).

Что касается звена X, то здесь возможны два случая:

1) известен адрес (ссылка) на элемент X; тогда при обращении к процедуре уже задано значение фактического параметра;

2) известен только сам элемент (информационное поле звена X);

для определения ссылки на звено X в указанном деке следует "прокрутить" дек до этого звена (подобно поиску N-го звена в стеке).

Заметим также, что обе процедуры неприменимы для дека, состоящего из одного звена.

При удалении звена из дека, как и в любом линейном списке, происходит перебрасывание ссылок через удаляемое звено: ссылка NEXT предыдущего звена получает своим значением адрес третьего звена, а ссылка PRED третьего звена указывает на первое звено. В результате второе (удалямое) звено X оказывается изолированным от остальных звеньев, что и означает его удаление из дека.

ЗАМЕЧАНИЕ. Данная процедура применима только для звена X, находящегося внутри дека. Для пограничных случаев, когда звено X является первым или единственным, необходимо использовать более сложную процедуру:

procedure UDAL_DEK_1(X: SS; VAR Y, Z: SS);

begin

¦ if Y^.next = nil then writeln('Дек пуст !') else

¦ if X = Y then Y:= Y^.next else

¦ begin x^.pred^.next:=x^.next;

¦ ¦ {Переброска ссылки next вверху}

¦ ¦ x^.next^.pred:=x^.pred;

¦ ¦ {Переброска ссылки pred внизу}

¦ end;

end.

В этой процедуре введены параметры-переменные: Y - начало дека и Z - ссылка на конец дека. Они необходимы, т.к. здесь могут быть изменены начало и конец дека.

Если Y^.NEXT = NIL, то это означает, что дек пуст и никаких действий не производится. Равенство X = Y показывает, что дек состоит из одного звена, которое удаляется путем присваивания ссылке Y (началу дека) значения указателя на последнее нулевое звено дека. Для остальных случаев все действия производятся, как и в предыдущем примере.

14.4 Общие приемы работы с линейными списками

Как уже говорилось ранее, все виды линейных списков имеют много общего, а именно, они являются динамическими цепочками. Поэтому имеет смысл остановиться на операциях, общих для всех видов линейных списков: вывод, поиск, сортировка. Заметим, что операции вывода и поиска уже рассматривались для некоторых частных случаев линейных списков. Здесь же будут даны универсальные процедуры.

Процедура печати списка имеет вид:

procedure VIVOD_SPISOK(var Y: SS);

var X: SS;

begin X:= Y;

¦ while X^.next <> nil do

¦ begin

¦ ¦ write(X^.elem,' '); X:=X^.next;

¦ end;

end.

ПОЯСНЕНИЕ. Здесь Y - начало списка, а переменная X введена, чтобы после печати списка значение переменной Y не изменилось (не потерялось начало списка).

Поиск заданного элемента в списке осуществляется чаще всего не для констатации факта присутствия этого элемента, а для его удаления или для вставки после него (перед ним в деке) нового элемента. Именно поэтому возвращаемым параметром этой процедуры должна быть ссылка на данный элемент (если такой факт имеет место). Кроме того, полезно знать и номер найденного звена от начала списка:

procedure POISK_V_SPISKE(var Y,Z: SS; ZNACH: integer;

var N: integer);

var X: SS;

begin

¦ N:= 1; X:= Y;

¦ while (X^.elem <> ZNACH) and (X^.next <> nil) do

¦ begin

¦ ¦ X:= X^.next; Z:= X;

¦ ¦ N:= N+1

¦ end;

¦ if X^.next = nil then

¦ begin N:= 0; Z:= nil; end;

end.

ПОЯСНЕНИЕ. С помощью данной процедуры в списке Y ищется звено с элементом ZNACH. Значение переменной N дает номер искомого звена, а переменная Z - ссылку на это звено. Если такого звена нет, то N = 0 и Z = NIL.

Сортировка линейных списков незначительно отличается от сортировки массивов. При этом надо помнить, что при сортировке односвязных списков применяются методы, в которых движение идет в одну сторону (здесь пузырьковая сортировка неприемлема). Для двухсвязных списков (деков) таких ограничений нет. Очевидно, что при сортировке динамических объектов происходит не сама их перестановка, а переброска соответствующих ссылок:

procedure SORTSPISOK (var X: SS);

{ X - Ссылка на начало списка }

var X1, Y1:SS; P: integer;

begin

¦ X1:= X; { Выбор элемента для сравнения }

¦ while X1^.next <> nil do { Проход по списку до

¦ предпоследнего элемента}

¦ begin

¦ ¦ Y1:=X1^.next;

¦ ¦ while Y1^.next <> nil do { Проход до последнего

¦ ¦ элемента }

¦ ¦ begin

¦ ¦ ¦ { Перестановка местами элементов}

¦ ¦ ¦ if Y1^.elem < X1^.elem then

¦ ¦ ¦ begin

¦ ¦ ¦ ¦ P:= X1^.elem; X1^.elem:= Y1^.elem;

¦ ¦ ¦ ¦ y1^.elem:= P;

¦ ¦ ¦ end;

¦ ¦ ¦ Y1:= Y1^.next; { Сдвиг по списку }

¦ ¦ end;

¦ ¦ X1:= X1^.next; { Сдвиг по списку }

¦ end;

end.

ПОЯСНЕНИЕ. В данной процедуре для сортировки использован метод прямого выбора, т.е. способ поиска минимального элемента и установка его в начало списка.

Часто по ходу работы программы возникает необходимость в организации нескольких линейных списков, причем заранее неизвестно не только число элементов в каждом списке, но и количество таких списков. В этом случае целесообразно представить их в виде связного списка, т.е. образовать список списков. Данную ситуацию можно сравнить с двумерным массивом, если воспринимать его как линейный массив, элементами которого являются линейные массивы.

Итак, для организации списка списков должны быть сформированы ссылки на начало каждого списка и, кроме того, ссылка на список, звеньями которого являются ссылки. В результате получается некий суперсписок, организованный в виде дека, состоящего из трех полей:

SPISOK

NEXT

PRED

Здесь поля NEXT и PRED позволяют выходить на любое звено ссылки на любой список. Сами списки для удобства работы с ними лучше делать в виде цепочек, очередей, стеков, хотя они также могут быть организованы в виде дека. В результате имеем такую схему:

…

*

*

*

…

…

*

*

*

…

*

*

*

el

el

el

*

*

*

el

el

el

*

*

*

…

…

…

Spi-1

SPi

Spi+1

Для реализации этой структуры необходимо задать два типа данных: SS - для обычных списков, SS1 - для дека суперсписка:

type SS = ^ZVENO;

ZVENO = record

el: integer;

next: SS;

end;

SS1 = ^ZVENO1;

ZVENO1 = record

pred1, next1: SS1;

SP: SS;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ. В описании 3-го поля второго списка имеется тип SS из первого списка, что позволяет рассматривать каждое звено второго списка как начальное (очередное) звено первого. Для содержания всей этой структуры в рабочем состоянии достаточно хранить в памяти ссылку на один из указателей дека (начало или конец).

Заметим также, что в случае очереди целесообразно построение звена дека из 4-х полей: PRED1, NEXT1, SPL (начало очереди), SPR (конец очереди).

15. ДЕРЕВЬЯ

15.1 Характеристика древовидной структуры данных

Указанные выше составные структуры не всегда удобны в работе, т.к. в начале сложного списка стоит дек, состоящий из звеньев, каждое из которых "смотрит" на свой линейный список. Поэтому при представлении составных структур удобнее задавать звенья этого списка в виде дерева, которое допускает ответвления в каждом звене, а само дерево, как стек, начинается с вершины.

Существует несколько способов изображения деревьев: вложения множеств, скобок, графы.

При ВЛОЖЕНИИ МНОЖЕСТВ используются хорошо известные в математике диаграммы Венна. Способ изображения дерева в виде ВЛОЖЕНИЯ СКОБОК менее нагляден, например, A(В(D,E)), C(F,G,H)).

Рассмотрим терминологию, присущую представлению дерева в виде графа:

1) элемент дерева - ВЕРШИНА, из которого связи только выходят, называют КОРНЕМ дерева (в нашем случае А);

2) связи между элементами дерева называются РЕБРАМИ;

3) если вершина В находится на графе ниже А, то В называется ПОТОМКОМ, а А - ПРЕДКОМ В;

4) каждая вершина находится на своем УРОВНЕ, причем корню соответствует 0-й уровень;

5) число уровней (или максимальный уровень) называют ВЫСОТОЙ или ГЛУБИНОЙ дерева;

6) если вершина не имеет потомков, то она называется ЛИСТОМ (в нашем примере F,G,H,D,E - листы);

7) вершины, лежащие между корнем и листьями, называют ВНУТРЕННИМИ.

Выделяют из всех деревьев так называемые УПОРЯДОЧЕННЫЕ деревья - такие, у которых ребра (т.е. соответствующие им элементы), выходящие из каждой вершины, упорядочены по какому-либо признаку. Для деревьев, элементами (вершинами) которых являются целые числа, упорядоченность устанавливается по возрастанию (убыванию) элементов.

Так, если дерево упорядочено по возрастанию, это означает, что самое левое ребро на графе заполнено наименьшим числом.

НАПРИМЕР:

/ \

3 10

/ \ / \

2 4 9 12

2 < 3 < 5 < 10 < 12; 2 < 3 < 4;

3 < 10;

2 < 4 < 9 < 12; 9 < 10 < 12.

Особый интерес представляют деревья, у которых из каждой вершины может исходить не более 2-х (т.е. ни одного, одно или два) ребер. Такие деревья называют ДВОИЧНЫМИ или БИНАРНЫМИ, либо деревьями 2-й степени.

Итак, степень дерева - это максимальное количество ребер, исходящих из каждой вершины. Например, нижеследующий граф определяет дерево 3-й степени:

/ \

O W

/ | \ \

E Q X H

Бинарное дерево принято также называть ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИМ:

X -внук

/ \

сын - Y Z -дочь

/ \ / \

A B C D

мать отец мать отец

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: дерево называется ПРЕДЕЛЬНО (ИДЕАЛЬНО) СБАЛАНСИРОВАННЫМ, если разница между числом вершин в его левых и правых поддеревьях (на всех уровнях) не более 1.

15.2 Построение идеально сбалансированного дерева

Для построения такого дерева используется рекурсивное правило:

Пусть требуется построить дерево из N элементов (вершин).

Выберем один из них в качестве корня.

2. Строим левое поддерево с количеством вершин NL = N div 2.

3. Так же строим правое поддерево с числом вершин NR = N-NL-1.

Например, при построении дерева из 5 элементов:

1) один элемент идет на корень;

2) оставшиеся 4 элемента разбиваются на два поддерева:

NL = 2 и NR = 2;

3) в каждом из поддеревьев один элемент идет на корень, а другой - на лист: NL1= 1, NR1= 0.

Очевидно, что для отображения структуры дерева в память ЭВМ требуется построение динамических объектов.

Здесь K-ELEMENT есть вершина дерева, а LEFT и RIGHT - поля ссылок на левую и правую вершины поддеревьев.

Отсюда следует процедура-функция формирования дерева, где используется указанный выше принцип построения рекурсивной функции.

У данной процедуры в качестве параметра-аргумента выступает число элементов (вершин) дерева, а значением функции является ссылка - указатель на следующую вершину (левую и правую). Сами элементы запрашиваются с клавиатуры:

function FORMIRTREE (N: integer): SS;

var Z: SS; NL, NR: integer;

begin

¦ if N = 0 then Z:= nil {Пустое дерево}

¦ else

¦ begin

¦ ¦ NL:= N div 2; NR:= N-Nl-1; new(Z);

¦ ¦ write('Ввести вершину'); readln(Z^.k);

¦ ¦ Z^.right:= FORMIRTREE (NR);

¦ end;

¦ FORMIRTREE:= Z; {Запоминание ссылки на корень дерева}

end.

ПОЯСНЕНИЕ. Сначала все N-1 элементов разбиваем на две части - левую и правую. Затем каждую часть соответственно делим на две. Рекурсия прекращается, когда N становится равным нулю - деление закончено, последняя образованная ссылка указывает на корневой элемент:

1

left

right

2

4

left

left

3

right

5

right

Дерево имеет 2 уровня, на нижнем (втором) уровне располагаются только левые листы (правые отсутствуют из-за нехватки элементов).

Чтобы вывести дерево на экран дисплея, необходимо предусмотреть обход этого дерева по принципу его создания, т.е. в виде рекурсивной процедуры:

procedure PRINTTREE (Z: ss; X: integer; var Y: integer);

var I: integer;

begin

¦ Y:= (X-5)/5 - 1;{ Подсчет числа уровней }

¦ if Z <> nil then

¦ begin

¦ ¦ PRINTTREE(Z^.right, X+5, Y);

¦ ¦ for I:=1 to X do write(' ');

¦ ¦ writeln(Z^.k);

¦ writeln;

¦ ¦ PRINTTREE(Z^.left, X+5, Y);

¦ end;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ. Эта рекурсивная процедура выводит на экран элементы слева направо, причем крайним левым элементом оказывается корень дерева. Между соседними уровнями процедура печатает 5 пробелов, а между элементами одного уровня - одну строчку. В процедуре параметр Y, как выходной, служит для указания числа уровней построенного дерева. Формула (X-5)/5-1 дает число уровней, т.к. по построению между элементами соседних уровней находится 5 пробелов, а в завершение работы этой процедуры последним печатается самый левый (самый нижний и, значит, самый удаленный от левого края экрана) лист дерева:

Теперь, имея рекурсивную функцию FORMIRTREE формирования дерева и рекурсивную процедуру PRINTTREE печати его элементов, можно записать основную программу построения и печати дерева с указанным числом вершин.

program TREE;

type SS = ^ZVENO;

ZVENO = record

K: integer;

left, right: SS;

end;

var KOL: integer; Y: REAL; DER: SS;

{KOL - число элементов дерева; DER - ссылка на корень дерева}

< рекурсивная функция FORMIRTREE формирования дерева>;

< рекурсивная процедура PRINTTREE печати дерева>;

begin

¦ write('Введите число элементов дерева');

¦ y:= 0; {Число уровней дерева}

¦ readln (KOL); DER:= FORMIRTREE (KOL);

¦ writeln; writeln(' Д Е Р Е В О:');

¦ PRINTTREE (DER, 5, y); writeln;

¦ writeln(' Всего', y:3:0,' уровня(ей) дерева.');

end.

ПОЯСНЕНИЕ. Дерево, состоящее из пяти элементов (1,2,3,4,5), будет выведено на экран в виде следующего графа:

ДЕРЕВО

4 \

правое поддерево

/

5

1 \

2 \

3

левое поддерево

15.3 Основные операции над деревьями

Над деревьями, как и над другими связными списками, выполняются те же операции: поиск элемента, вставка элемента в дерево и удаление из него.

Так как образование дерева с помощью рекурсивной процедуры идет по двум ветвям - LEFT и RIGHT, то и поиск нужного элемента должен реализоваться по тому же принципу. Сам же поиск может иметь в качестве результата (выхода) значение некоторого признака, свидетельствующего, что такой элемент в списке есть, или даже ссылку на этот найденный элемент (звено).

Итак, процедуру поиска элемента в двоичном дереве организуют в виде рекурсивной процедуры, где есть:

1) входные параметры (параметры-значения) - ссылка на дерево (т.е. на корень дерева, где ищется элемент) и значение элемента поиска;

2) выходной параметр (параметр-переменная) - ссылка на найденный элемент.

Таким образом, имеем следующую процедуру:

procedure POISK(S: SS; ZNACH: integer; var ELEM: SS);

begin

¦ if S <> nil then

if S^.k = ZNACH then ELEM:= S

¦ else

begin

¦ ¦ POISK(S^.left, ZNACH, ELEM);

¦ ¦ POISK(S^.right, ZNACH, ELEM);

¦ end;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из самой процедуры видно, что рекурсия заканчивается по достижению последнего элемента дерева, поэтому переменная ELEM получит значение ссылки на последний элемент, равный ZNACH. Если такого элемента в дереве нет, то переменная ELEM не будет определена, т.к. на оператор ELEM:= S программа выходит только при условии S^.K = ZNACH. В этом случае значение переменной ELEM^.K - "мусор".

В качестве элемента поиска может быть и корень дерева, но тогда никакой рекурсии не произойдет, а будет сразу получен ответ. Итак, процедура POISK "пробегает" все дерево независимо от результатов. Для приостановки поиска после получения положительного результата необходимо организовать досрочный выход, что реализует следующая процедура:

procedure POISK1(S: SS; ZNACH: integer; var ELEM: SS);

begin

¦ if (S^.k >= N1) and (S^.k <= N2) then

¦ begin write(S^.k:3); i:= i+1; end;

¦ if S^.k = ZNACH then begin j:=1;ELEM:= S end

¦ else if S <> nil then

¦ begin

¦ ¦ POISK1(S^.left, ZNACH, ELEM);

¦ ¦ if j = 0 then

¦ ¦ POISK1(S^.right, ZNACH, ELEM);

¦ end;

end.

ПОЯСНЕНИЕ. Данная процедура заканчивает работу либо при нахождении искомого элемента, либо при достижении конца дерева. В ней имеются две глобальные переменные I и J, которые должны быть обнулены в основной программе. Переменная I служит для подсчета просмотренных во время поиска элементов, которые попутно выводятся на печать. При нахождении элемента ZNACH в левом поддереве вырабатывается признак J = 1, препятствующий вхождению поиска в правое поддерево.

Условие (S^.k >= N1) and (S^.k <= N2) необходимо для того, чтобы не выводились на печать K - элементы "сухих" ветвей (выходящих из терминальных вершин) при обходе дерева. Здесь N1 - наименьший и N2 - наибольший из введенных в дерево элементов. Обе эти переменные должны быть определены в основной программе.

Вставка элементов в дерево более сложна, чем поиск. Это связано с тем, что каждый элемент (кроме терминального) ссылается на два других (левый и правый) и указания на то, после какого элемента надо осуществить вставку, будет недостаточно. Необходимо знать, в какую из ветвей следует ввести новую вершину.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Рефераты

Алгоритмический язык Паскаль

Формирование дека

14.4 Общие приемы работы с линейными списками

15. ДЕРЕВЬЯ

15.1 Характеристика древовидной структуры данных

15.2 Построение идеально сбалансированного дерева