Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если , , , то элемент матрицы (AB) C в силу (1.4) равен , а элемент матрицы A(BC) равен , но тогда равенство = вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно j и k.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы A на матрицу B имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и B одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц A и B оба произведения AB и BA определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает перестановочным свойством. В самом деле, если положить , , то , а .

Здесь видны важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство. Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, называются коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка n имеет вид

,

где - какие угодно числа. Если все эти числа равны между собой, т.е. , то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство AD=DA. Проверим это, обозначим символами и элементы, стоящие на пересечении i_й строки и j_го столбца матриц AD и DA соответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы D получим, что

, , (1.6)

т.е. = .

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d=l, называется единичной матрицей n_го порядка и обозначается символом E. Вторая матрица получается при d=0, называется нулевой матрицей n_го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

, .

В силу доказанного выше AE = EA и AO = OA. Более того, из формул (1.6) видно, что

AE = EA = A, AO = OA = O. (1.7)

Первая из формул (1.7) характеризует особую роль единичной матрицы E, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы O, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

A + O = O + A = A.

Нулевой матрицей называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю.

Блочные матрицы. Пусть некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. Тогда возникает возможность рассмотрения исходной матрицы A как некоторой новой (так называемой блочной) матрицы , элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы обозначаются большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжены двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй - номер «блочного» столбца.

Например, матрицу

можно рассматривать как блочную матрицу

,

элементами которой служат следующие блоки:

, ,

, .

Основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица является блочной и имеет блочные элементы , то при том же разбиении на блоки матрице отвечают блочные элементы . При этом блочные элементы сами вычисляются по правилу умножения матрицы на число ?.

Столь же элементарно проверяется, что если матрицы A и B имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц A и B отвечает блочная матрица с элементами =+ (здесь и - блочные элементы матриц A и B).

Пусть A и B - две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока равно числу строк блока (так что при любых ?, ? и ? определено произведение матриц ). Тогда произведение C = AB представляет собой матрицу с элементами , определяемыми формулой

.

Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц A и B.

В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц.

1.2 Определители

Целью этого параграфа является построение теории определителей любого порядка п.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка n:

. (1.8)

С каждой такой матрицей связана определенная численная характеристика, называемая определителем, соответствующим этой матрице.

Если порядок n матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента a11 и определителем первого порядка соответствующим такой матрице, называется величиной этого элемента.

Если далее порядок n матрицы (1.8) равен двум, т.е. если эта матрица имеет вид

, (1.9)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, есть число, равное a11a22 - a12 a21 и обозначаемое одним из символов

.

Итак, по определению

. (1.10)

Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого порядка n, где . Понятие такого определителя выводится индуктивно, считая, что понятие определителя порядка n_1 уже введено, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка n_1.

Договоримся называть минором любого элемента матрицы n_го порядка (1.8) определитель порядка n_1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i_й строки и j_го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний - номер столбца, а черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.

Определителем порядка n, соответствующим матрице (1.8), назовем число, равное и обозначаемое символом

. (1.11)

Итак, по определению

. (1.12)

Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка n по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов первой строки, являющимся определителями порядка n_1.

Если n=2, то правило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид: , .

Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной i_й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.

Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2… n), для определителя n_го порядка (1.11) справедлива формула

, (1.13)

называемая разложением этого определителя по i_й строке.

В этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j.

Доказательство теоремы 1.1. Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров i = 2, 3,…, n. При n = 2 (т.е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера i = 2, т.е. при n = 2 нужно доказать лишь формулу

Справедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1.10). Итак, при n = 2 теорема доказана.

Доказательство формулы (1.13) для произвольного n > 2 производится по индукции, т.е. для определителя порядка n - 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости формулы (1.13) для определителя порядка n.

При доказательстве понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка n - 2. Определитель порядка n_2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами и двух столбцов с номерами , называется минором (n_2) - го порядка и обозначается символом .

Определитель n_го порядка ? вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор является определителем порядка n_1, для которого по предположению справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.

Фиксировав любой номер i (i=2,3… n), разложим в формуле (1.12) каждый минор по i - й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре эта строка будет (i_1) - й).

В результате весь определитель ? окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации миноров (n_2) - го порядка с несовпадающими номерами j и k, т.е. в виде

(1.14)

Для вычисления множителей заметим, что минор получается в результате разложения по (i_1) - й строке только следующих двух миноров (n - 1) - го порядка, отвечающих элементам первой строки матрицы (1.8): минора и минора (ибо только эти два минора элементов первой строки содержат все столбцы минора ).

В разложениях миноров и по указанной (i - 1) - й строке выписываются только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент ajk минора стоит на пересечении (i - 1) - й строки и (k - 1) - го столбца этого минора, а элемент aij минора стоит на пересечении (i - 1) - й строки и j_го столбца этого минора, в итоге получается

В дальнейшем мы договоримся символом |A|, |B|, |A'|… обозначать определители квадратных матриц A, B, A'… соответственно.

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. |А'|=|А|.

Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя |A| по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя | A' | по первой строке).

Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строки быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

1. Ввести определитель, размерность и диапазон значений генерируемой матрицы.

2. Если введенный определитель является простым числом, выходящим за рамки введенного диапазона, и размерность меньше двух, то выдать сообщение об ошибке и перейти к пункту 1, иначе, при корректном вводе, перейти к пункту 3.

3. Организовать функцию разложения определителя на простые множители. Полученные множители записать в вспомогательный массив.

4. Если размерность вспомогательного массива меньше размерности строки генерируемой матрицы, то массив дополняется единицами до тех пор, пока размерность вспомогательного массива не будет равна размерности строки генерируемой матрицы. Если размерность вспомогательного массива больше размерности строки генерируемой матрицы, то получившийся в результате разности размерностей массива и матрицы хвост перемножается с первыми элементами вспомогательного массива.

5. Организовать цикл для генерации матрицы, в которой получившийся массив в пункте 4 располагается на главной диагонали, и одна из областей, находящихся выше или ниже главной диагонали, заполняется случайными числами, принадлежащими введенному диапазону, а другая заполняется нулями.

6. Дальше берется первая строка, умноженная на определенные коэффициенты, получившейся матрицы и складывается с остальными строками.

7. Вывести получившуюся матрицу на экран.

2.2 Написание программы, реализующей алгоритм генерации матриц

Преодоление проблем, возникших при написании программы

При написании кода программы, реализующей алгоритм генерации матриц, столкнулись с рядом трудностей.

Во-первых, необходимо было реализовать проверку вводимых данных, чтобы вводимый определитель удовлетворял диапазону элементов матрицы, т.е. введенный определитель, если является простым числом, то должен входить во введенный диапазон, и размерность матрицы должна быть больше двух. Для преодоления первой проблемы был разработан следующий алгоритм, реализация которого будет приведена ниже.

1. Инициализировать функцию простого числа.

2. Инициализировать функцию проверки определителя и размерности.

3. Если определитель выходит за рамки диапазона и является простым числом или размерность матрицы меньше двух, то выдаем сообщение об ошибке.

4. Иначе при успешной проверки переходим к дальнейшим преобразованиям для генерации матрицы.

Второй проблемой явилось выход элементов матрицы из введенного диапазона, при сложении первой строки, умноженной на определенные коэффициенты, матрицы с остальными строками. Для преодоления данной проблемы были применены следующие операции. Для генерации случайных чисел, введенный диапазон был уменьшен в четыре раза, а коэффициенты берутся из диапазона [-3, 3].

Описание и пояснение некоторых частей программы

В данном пункте будут приведены некоторые части программы, реализующей алгоритм генерации матриц, с пояснениями.

1. Функция простого числа типа int

int prost (int det)

Данная функция определяет, является ли число простым. Если функция получила простое число, то она возвращает единицу, в противном случае ноль.

Входные данные - число типа int.

Выходные данные - число типа int.

2. Функция проверки определителя и размерности матрицы.

int prov_data (int det, int a, int b, int n)

(det<0 && det>a))

Если введенный определитель является простым числом, выходящим из введенного диапазона, и размерность меньше двух, то функция возвращает -1. Иначе если определитель равен нулю, то функция возвращает ноль. Иначе если определитель равен единице, то функция возвращает единицу, иначе если определитель больше двух или меньше нуля, то функция возвращает два.

Входные данные - четыре числа типа int.

Выходные данные - число типа int (-1, 0, 1 или 2).

3. Функция разложения числа на простые множители.

void faktor (int *mas_fakt, int det, int n)

{

int i, j=0, d, r;

int *mass1,*mass2;

mass1=(int*) malloc (n*sizeof(int));

mass2=(int*) malloc (n*sizeof(int));

if (det<0) d=-1*det;

else if (det>=0) d=det;

for (i=2; i<=d/2+1; i++)

{while (d % i==0)

{

d/=i;

*(mas_fakt+j)=i;

j++;

}

}

if (j<n)

{

while (j<=n)

{

*(mas_fakt+j)=1;

j++;

}

}

else if (j>n)

{

r=i=0;

while (i<j)

{

if (i<n)

*(mass1+i)=*(mas_fakt+i);

else if (i>=n)

{

*(mass2+r)=*(mas_fakt+i);

r++;

}

i++;

}

for (i=0; i<r; i++)

{j=*(mass2+i);

*(mass1+i)=*(mass1+i)*j;}

for (i=0; i<n; i++)

*(mas_fakt+i)=*(mass1+i);

}

if (det<0)

{r=*(mas_fakt+0);*(mas_fakt+0)=-1*r;}

free(mass1);

free(mass2);

}

В данной функции инициализируется цикл для разложения числа, массив mas_fakt заполняется значениями, полученными в результате разложения определителя на простые множители. Если размерность массива mas_fakt меньше размерности строки равной n генерируемой матрицы matr, дописываем единицами. Если размерность массива mas_fakt больше n, то используются два вспомогательных массива mass1 и mass2, где в массив mass1 записываются элементы 1, …, n из массива mas_fakt, а в массив mass2 все остальные. Потом элементы из массива mass1 умножаются на элементы из массива mass2. В итоге массив mas_fakt заполняется элементами массива mass1.

Входные данные - числа типа int.

Выходные данные - массив (mas_fakt) типа int.

4. Функция, генерации квадратной матрицы.

void gen_matric (int *matr, int *mas_fakt, int n, int a, int b)

{

int i, j,*vsp_mas, k=1, k1;

vsp_mas=(int*) malloc (n*sizeof(int));

for (i=0; i<n; i++)

for (j=0; j<n; j++)

{

if (i==j)

{

*(matr+i*n+j)=*(mas_fakt+j);

}

else if (i<j)

*(matr+i*n+j)=random (b/4_a/4)+a/4;

else *(matr+i*n+j)=0;

}

for (i=0; i<n; i++)

*(vsp_mas+i)=*(matr+0*n+i);

for (i=0; i<n; i++)

{

if (a<-10 || b>10)

{

k=random(7) - 3;

if (k1==k)

{

if (k<=3 && k>-3)

k-=1;

else if (k>=-3 && k<3)

k+=1;

}

}

for (j=0; j<n; j++)

{

if (i>0)

*(matr+i*n+j)=*(matr+i*n+j)+*(vsp_mas+j)*k;

else if (i==0)

*(matr+i*n+j)=*(matr+i*n+j);

}

k1=k;

}

free (vsp_mas);

}

Сначала инициализируется цикл для генерации треугольной матрицы, в которой массив mas_fakt располагается на главной диагонали, и одна из областей, находящаяся выше главной диагонали, заполняется случайными числами, принадлежащими введенному диапазону, а другая заполняется нулями. Потом инициализируется цикл для сложения первой строки, получившейся матрицы matr и умноженной на определенные коэффициенты, с остальными строками.

Входные данные - числа типа int.

Выходные данные - матрица (matr) типа int.

Листинг программы, реализующей алгоритм генерации матриц

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <time.h>

void gen_matric_0 (int *matr, int n, int a, int b);

void gen_matric_1 (int *matr, int n);

void gen_matric (int *matr, int *mas_fakt, int n, int a, int b);

int prov_data (int det, int a, int b, int n);

void print_matric (int *matr, int n);

void faktor (int *mas_fakt, int det, int n);

int prost (int det);

void main()

{

clrscr();

randomize();

FILE *fp;

int *matr, mas[4], det, k,*mas_fakt;

int n, i, j, l, l1, a, b;

int flag;

fp=fopen («inf.txt», «r»);

fseek (fp, 0L, SEEK_END);

l=ftell(fp);

fseek (fp, 0L, SEEK_SET);

printf («Входные данные:\n»);

i=0;

while (l!=ftell(fp))

{

fscanf (fp, «%d»,&k);

l1=ftell(fp);

mas[i]=k;

printf («%d:», mas[i]);

i++;

fseek (fp, l1, SEEK_SET);

}

fclose(fp);

det=mas[0];

n=mas[1];

a=mas[2];

b=mas[3];

matr=(int*) malloc (n*n*sizeof(int));

mas_fakt=(int*) malloc (n*sizeof(int));

faktor (mas_fakt, det, kol, n);

flag=prov_data (det, a, b, n);

if (flag==-1)

printf («\nПроверьте правильность ввода данных!\nРазмерность должна быть > или равно 2.\n Определитель должен входить в диапазон, \n если является простым числом, \n или раскладываться на простые множители принадлежащие данному диапазону!!!»);»);

else if (flag!=-1)

{

printf («\nМатрица:\n»);

if (flag==0)

gen_matric_0 (matr, n, a, b);

else if (flag==1)

{

gen_matric_1 (matr, n);

print_matric (matr, n);

printf («\n или\n\n»);

gen_matric (matr, mas_fakt, n, a, b);

}

else if (flag==2)

gen_matric (matr, mas_fakt, n, a, b);

print_matric (matr, n);

}

free (mas_fakt);

free(matr);

free(kol);

getch();

}

int prov_data (int det, int a, int b, int n)

else if (det>1

void gen_matric_0 (int *matr, int n, int a, int b)

{

int *mass;

int nomer_str, i, j, k, l, ras;

mass=(int*) malloc (n*sizeof(int));

ras=n;

nomer_str=0;

if (n==2)

k=1;

else if (n>2)

k=2;

for (l=0; l<ras; l++)

mass[l]=a+random (b-a);

for (i=0; i<n; i++)

for (j=0, l=0; j<n; j++)

{

if (i==nomer_str)

{

*(matr+i*n+j)=mass[l];

l++;

}

else if (i==k)

{

*(matr+i*n+j)=mass[l];

l++;

}

else *(matr+i*n+j)=random (b-a)+a;

}

free(mass);

}

void gen_matric_1 (int *matr, int n)

{

int i, j;

for (i=0; i<n; i++)

for (j=0; j<n; j++)

{

if (i==j)

*(matr+i*n+j)=1;

else if (i!=j)

*(matr+i*n+j)=0;

}

}

void gen_matric (int *matr, int *mas_fakt, int n, int a, int b)

{

int i, j,*vsp_mas, k=1, k1;

vsp_mas=(int*) malloc (n*sizeof(int));

for (i=0; i<n; i++)

for (j=0; j<n; j++)

{

if (i==j)

{

*(matr+i*n+j)=*(mas_fakt+j);

}

else if (i<j)

else *(matr+i*n+j)=0;

}

for (i=0; i<n; i++)

*(vsp_mas+i)=*(matr+0*n+i);

for (i=0; i<n; i++)

{

if (a<-10 || b>10)

{

k=random(7) - 3;

if (k1==k)

{

if (k<=3 && k>-3)

k-=1;

else if (k>=-3 && k<3)

k+=1;

}

}

for (j=0; j<n; j++)

{

if (i>0)

*(matr+i*n+j)=*(matr+i*n+j)+*(vsp_mas+j)*k;

else if (i==0)

*(matr+i*n+j)=*(matr+i*n+j);

}

k1=k;

}

free (vsp_mas);

}

void print_matric (int *matr, int n)

{

int i, j;

for (i=0; i<n; i++)

{

for (j=0; j<n; j++)

{

printf («%5d»,*(matr+i*n+j));

}

printf («\n»);

}

}

void faktor (int *mas_fakt, int det, int n)

{

int i, j=0, d, r;

int *mass1,*mass2;

mass1=(int*) malloc (n*sizeof(int));

mass2=(int*) malloc (n*sizeof(int));

if (det<0) d=-1*det;

else if (det>=0) d=det;

for (i=2; i<=d; i++)

{

while (d % i==0)

{

d/=i;

*(mas_fakt+j)=i;

j++;

}

}

if (j<n)

{

while (j<=n)

{

*(mas_fakt+j)=1;

j++;

}

}

else if (j>n)

{

r=i=0;

while (i<j)

{

if (i<n)

*(mass1+i)=*(mas_fakt+i);

else if (i>=n)

{

*(mass2+r)=*(mas_fakt+i);

r++;

}

i++;

}

for (i=0; i<r; i++)

{

j=*(mass2+i);

*(mass1+i)=*(mass1+i)*j;

}

for (i=0; i<n; i++)

*(mas_fakt+i)=*(mass1+i);

}

if (det<0)

{r=*(mas_fakt+0);*(mas_fakt+0)=-1*r;}

free(mass1);

free(mass2);

}

int prost (int det)

{

int d, i, flag=1;

d=det;

if((d % 2==0 && d!=0 && d!=2) || d<0)

flag=0;

else

for (i=3; i<sqrt(d); i+=2)

if (d % i==0)

flag=0;

return flag;

Заключение

В заключение данной курсовой работы хотелось бы кратко сказать о проделанной работе, о проблемах, с которыми столкнулся при выполнении поставленной цели, и о перспективах развития и улучшения данного программного продукта.

Целью данной курсовой работы было составить алгоритм генерации матриц по введенному определителю, размерности и диапазона элементов матрицы.

Чтобы выполнить поставленную цель, необходимо было решить три задачи:

1. Поиск литературы по предмету данной курсовой работы.

2. Составление алгоритма для выполнения поставленной цели.

3. Написание программы, реализующей составленный алгоритм.

При решении третьей задачи столкнулся с трудностью проверки корректности ввода данных. Необходимо было проверять, чтобы вводимый определитель удовлетворял диапазону элементов матрицы, т.е. введенный определитель, если является простым числом, то должен входить во введенный диапазон, и размерность матрицы должна быть больше двух.

Основными источниками, помогавшими выполнить поставленную цель, явились:

1. Книги по линейной алгебре, в которых содержался материал по теории матриц.

2. Книги по информатике и программированию.

Результатом данной курсовой работы стал алгоритм генерации матриц и написанная на его основе программа. Данная программа предназначена для работы с целыми числами. Одной из перспектив развития данного алгоритма является его улучшение для работы с действительными и комплексными числами, а программы - написание ее для работы со всеми числами: целыми, вещественными, комплексными.

Чтобы более полно использовать возможности алгоритма, его лучше реализовывать на тех языках программирования, у которых типы данных имеют достаточно большие диапазоны.

Надеюсь, что данная программа из области исследования при выполнении курсовой работы, при условии ее усовершенствования, выйдет в свет как полностью готовый к использованию программный продукт и будет востребован не только в целях методических разработок.

Список литературы

1. Ланкастер П. Теория матриц / Ланкастер П. - М.: Наука, 1982. - 272 с.

2. Линейная алгебра / Ильин В.А., Позняк Э.Г. - М.: Наука, 1978. - 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру / Кострикин А.И. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 368 с.

4. Писанецки С. Технология разряженных матриц / Писанецки С. - М.: Мир, 1988. - 410 с.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Гантмахер Ф.Р. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

6. Подбельский В.В. Язык С++ / Подбельский В.В. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 560 с.

7. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю. Практика программирования: Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель. / Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю. - СПб.: БХВ - Петербург, 2002. - 480 с.

8. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры / Мальцев А.И. - М.: Наука, 1970. - 400 с.

9. Крячков А.В., Сухинина И.В., Томшин В.К. Программирование на С и С++ / Крячков А.В., Сухинина И.В., Томшин В.К. - М.: Горячая линия - Телеком, 2000. - 344 с.

Приложение