Информатика и компьютерная техника

Ответ: 56(10)=111000(2);

Ответ: 56(10)=70(8).

Ответ: 56(10)=38(16).

Чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в любую другую с основанием P, ее последовательно умножают на P, при этом каждый раз умножается только дробная часть образовавшегося произведения. Процесс перевода продолжается либо до достижения заданной точности, либо до обнаружения периода. Дробь в системе счисления с основанием P записывается в виде дроби из целых частей образовавшихся произведений, начиная с первого.

Перевод десятичных дробей удобно производить по схеме, которую проиллюстрируем на примерах.

Перевести:

0,75(10)>(8)

Ответ: 0,75(10)=0,6(8)

2) 0,7(10)>(16)

Ответ: 0,7(10)=0,В(3)(16)

2) 0,4(10)>(2)

Ответ: 0,4(10)=0,01(2)

Примеры для отработки навыков

Переход из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно

Поскольку основание восьмеричной системы 8=23, то разложение числа по степеням 8 легко переводится в разложение по степеням 2 и наоборот. При этом каждая цифра восьмеричной системы (0,…,7) имеет свое разложение по степеням 2. Например,

2(8)=0·22+1·21+0·20=(010)2 6(8)=1·22+1·21+0·20=(110)2

Тогда переход от восьмеричного представления числа в двоично-восьмеричное осуществляется путем замены каждой восьмеричной цифры соответствующей двоичной триадой.

720(8)=7·82+2·81+0·80=(1·22+1·2+1·20)26+(0·22+1·2+0·20)·23+(0·22+0·21+0·20)=1·28+1·27+1·26+0·25+1·24+0·23+0·22+0·21+0·20=111010000(2)=11 010 000(2).

7 2 0

Для представления двоичного числа в восьмеричной системе надо число разбить на двоичные триады влево и вправо от запятой и затем заменить каждую триаду, соответствующей ей восьмеричной цифрой.

101 111 011, 001 100(2) = 573,14(8)

Четыре двоичных разряда позволяют закодировать любую десятичную цифру и получить 16 различных кодовых комбинаций, из которых 10 (от 0000 до 1001) используются для представления десятичных цифр. Кодовые комбинации, соответствующие числам 10 и более, условно обозначаются первыми буквами латинского алфавита (графа 4 таблицы 1). Так получается шестнадцатеричная система счисления. В программах для ЭВМ, чтобы не выписывать длинную вереницу нулей и единиц, вместо каждых четырех разрядов (тетрад) записывается их шестнадцатеричный эквивалент. Например, шестнадцатеричный эквивалент числа 0101 0001 1111 0011 будет 51F3.

Арифметические операции в электронных вычислительных машинах

В вычислительных машинах вся информация представляется в двоичной форме, а для выполнения вычислений используется непосредственно двоичная система счисления.

Арифметические операции с двоичными числами производятся так же, как с десятичными, с той лишь разницей, что в десятичной системе цифры каждого разряда возрастают в порядке 1,2,…,8,9, а при достижении величины 10 в этом разряде записывается 0 и делается перенос единицы в старший разряд. В двоичной системе используются только два символа 0 и 1, поэтому цифры в каждом разряде могут изменяться только в пределах этих двух значений, после этого происходит перенос в более старший разряд.

Таблица 1. -Таблица сложения двух бинарных чисел, имеет следующий вид:

Здесь 10 - это 2 в двоичной системе счисления.

Например:

1110,01(2)10111,011(2)

+ 1010,10(2) + 11101,101(2)

11000,11(2) 110101,000(2)

Обычно для представления положительных и отрицательных чисел используются величины со знаками, причем при представлении положительных чисел знак «+» можно опускать, а знак «-» при изображении отрицательных чисел должен ставиться, что для реализации на вычислительных машинах неудобно. В вычислительных машинах используется форма представления чисел в дополнительных кодах, а знаки «+» и «-» используются для указания арифметических операций.

В двоичной системе счисления числа могут быть представлены в форме дополнения до основания системы счисления, то есть до 2. В двоичном дополнительном коде всем положительным числам предшествует 0, а отрицательным числам - единица. Таким образом, при представлении чисел в дополнительном коде крайний левый бит (старший) является знаковым: 0 означает положительное число, а 1 - отрицательное.

1011 1100 101 110 111 000 001 010 011 0100 0101

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Числа, стоящие по разные стороны от нуля, являются взаимно дополнительными, то есть их сумма всегда равна 0. Чтобы представить двоичное число в дополнительной форме, его инвертируют (заменяют 0 на 1, а 1 - на 0) прибавляют к нему 1. Операция вычитания выполняется путем сложения дополнительных кодов.

Пример:

Выполнить вычитание 10111,1-1010,1.

На первом этапе необходимо указанные числа выровнять по значности (они должны иметь одинаковое количество разрядов) и представить в дополнительном коде.

[10111,1]доп.= 0 10111,1

[ -01010,1]доп.= 1 10101,0 + 00000,1 = 1 10101,1.

На втором этапе выполняется вычитание как сложение с дополнительным числом, то есть:

0 10111,1

+ 1 10101,1

01101,0 = 1101.

Операции умножения, деления, возведения в степень и вычисления функций процессор не выполняет, их необходимо выполнять программным путем, используя сдвиги влево и вправо. Сдвиг двоичного числа на одну позицию влево приводит к его удвоению подобно тому, так сдвиг десятичного числа на одну позицию вправо - к его уменьшению на 10. Сдвиг двоичного числа на одну позицию вправо делит его пополам.

Контрольные вопросы и примеры

Что понимается под системой счисления?

Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?

Дайте определение базиса и основания позиционной системы счисления.

Как перевести число из 10> 2, из 10> 16?

Как перевести число из 2> 10, из 8>10, из 16>10?

Каков принцип построения позиционных систем счисления?

Как изображаются числа в дополнительном коде?

Опишите схему вычитания чисел с помощью дополнительного кода.

Перевести числа из одной системы счисления в другую:

а) 625(10)>(2);б) 3628,5(10) >(16);в) 1024,4(10) > (8);

г) 134,6(8) >(10);д) -ВСО(16) >(10).

Записать числа в дополнительном коде:

а) 1563,04(10) г) -3А01(16)

б) -2,149(10)д) -01010,101(2)

в) -0,1001101(2)е) -37,54(8)

Выполните арифметические операции в двоичной системе:

а) 1011,11б)1011,101

+ 101,11 - 110,11

12. Комплексное задание: в таблице 2 приведены по вариантам числа в десятичной, двоичной и восьмеричной системах счисления:

Таблица 2.Системы счисления

Выполнить:

перевести число из 10-ой системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную;

перевести число из 2-ой системы счисления в десятичную и восьмеричную;

перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную и двоичную системы;

выполнить сложение чисел, находящихся в 2 и 4 графах таблицы 2, пользуясь двоичной арифметикой;

выполнить вычитание двоичных чисел, находящихся в тех же графах таблицы 2.

Основы математической логики

В математических и других рассуждениях постоянно встречаются повествовательные предложения, образованные путем видоизменения некоторого предложения с помощью слова не или связывания предложений с помощью слов и, или, если …, то (или влечет), тогда и только тогда, когда. Эти пять слов или комбинаций слов называются сентенциональными связками. Они являются основой для построения сложных предложений (т.е. таких повествовательных предложений в которых содержится одна или более чем одна связка), составленных их простых предложений (т.е. таких, каждое из которых или не содержит связку, или рассматривается как «неразложимое»).

Повествовательное предложение о котором можно сказать истинно оно или ложно мы будем называть высказыванием. Множество повествовательных предложений и сентенциональных связок образует исчисление высказываний. Если обозначать высказывания большими латинскими буквами и ввести для сентенциональных связок условные обозначения (значки), то можно перейти к логическим формулам результатом которых будут логические значения - истина или ложь.

Дадим определения для основных логических операций.

1. Конъюнкцией (или операцией логического умножения) двух высказываний A и B называют высказывание C, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания входящие в конъюнкцию. Конъюнкция (иногда логическое «и») обозначается значком и записывается так: AB.

2. Дизъюнкцией (или операцией логического сложения) двух высказываний A и B называют высказывание C, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания входящие в дизъюнкцию. Дизъюнкция (иногда логическое «или») обозначается значком и записывается так: AB.

3. Отрицанием высказывания A называют высказывание B которое ложно тогда и только тогда когда истинно исходное высказывание A, обозначают (иногда A).

4. Импликация высказываний (или условное предложение) обозначается AB и задается с помощью следующей таблицы, называемой таблицей истинности для импликации:

4. Эквиваленция или эквивалентность двух высказываний обозначается AB и задается следующей таблицей истинности:

Среди всех сложных высказываний или логических формул наибольший интерес представляют такие, которые принимают значение истина при любых истинностных значениях входящих в них логических переменных (высказываний). Они называются тождественно истинными высказываниями или тавтологиями, обозначаются значком . Для доказательства общезначимости логических формул (того, что формула есть тавтология) пользуются таблицами истинности или применяют основные законы эквивалентности математической логики, которые также доказываются применением таблиц истинности.

Законы эквивалентности

1. Законы коммутативности (они позволяют переставлять операнды , и ):

(AB)(BA)

(AB)(BA)

(AB)(BA)

2. Законы ассоциативности (они позволяют нам пренебрегать скобками):

(AB) С A (BC)

(AB) С A (BC)

Законы дистрибутивности (они позволяют раскрывать скобки):

A(B С) (A B)(AC)

A(B С) (A B)(AC)

Законы де Моргана:

(AB) AB

(AB) AB

Закон отрицания: (A) A

Закон исключенного третьего: AA истина

Закон противоречия: AA ложь

Закон импликации: (AB)( AB)

Закон равенства: (AB) (AB)(BA)

Законы упрощения :

AA A

AИстина Истина

AЛожьА

А(АВ)А.

11. Законы упрощения :

ААА

АИстинаА

АЛожьЛожь

А(АВ)А

Закон тождества:

АА.

Операции математической логики имеют свое старшинство, т.е. порядок их выполнения: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Пример 1. Доказать общезначимость формулы:

(АВ)(ВС)(АС)

Для доказательства воспользуемся таблицей истинности. Заметим, что количество строк в такой таблице равно 8 (2n - где, n - количество логических переменных).

Будем в таблице истину обозначать - и, а ложь - л.

Пример 2. Используя основные законы эквивалентности доказать эквивалентность формул U и V, когда

Применяя основные законы эквивалентности к каждой формуле в отдельности покажем, что они дают одно и то же логическое выражение (формулу). Далее, на основании равенства правых частей сделаем заключение о равенстве левых.

Рассмотрим V:

Рассмотрим U:

Тем самым эквивалентность доказана.

Пример 3. Записать логическое выражение принимающее значение истина в случае когда точка с координатами (x,y) находится внутри заштрихованной области. На рисунке даны окружность с единичным радиусом и парабола у=х2.

Рис.1. - Окружность с единичным радиусом

Выражение имеет следующий вид: (X2+Y21)(YX2).

Пример 4. Записать логическое выражение, принимающее значение истина в случае когда точка с координатами (x,y) находится внутри заштрихованной области. На рисунке даны окружность с единичным радиусом и парабола у=х2.

Рис.2. - Окружность с единичным радиусом

Выражение имеет следующий вид:

((X0)(X2+Y21)(YX2))((X2+Y21)(YX2)(Y0)).

Контрольные вопросы

Что такое сентенциональные связки?

Дайте определение высказывания.

Как определяются основные логические операции?

Что значит общезначимость логической формулы?

Выпишите основные законы эквивалентности.

Какие приоритеты имеют логические операции?

Пользуясь основными законами эквивалентности доказать общезначимость формулы:

(AB)((BC)(AC)).

Используя таблицу истинности доказать следующий закон эквивалентности:

(AB)( AB).

Записать логическое выражение принимающее значение истина в случае когда точка с координатами (x,y) находится внутри заштрихованной области.

Структурная схема ЭВМ

Общая структурная схема персонального компьютера представлена на рис. 1. Для простоты на этой схеме показано лишь одно устройство ввода и одно устройство вывода. Основная память компьютера состоит из двух частей - оперативного запоминающего устройства (ОЗУ) и постоянного запоминающего устройства (ПЗУ).

Рис. 1. Общая структурная схема персонального компьютера.

Микропроцессор является главным компонентом компьютера. Характеристики микропроцессора - длина разрядной сетки (или разрядность слова), набор выполняемых команд, быстродействие и другие - в основном определяют характеристики компьютера. Микропроцессор выполняет следующие функции: управление и координация работы всех других компонентов компьютера; выборка команд и обрабатываемых данных из основной памяти; декодирование команд; выполнение с помощью арифметического устройства арифметических, логических и других операций, закодированных в командах; передача данных между микропроцессором и основной памятью, а также между микропроцессором и устройствами ввода-вывода; обработка сигналов от устройств ввода-вывода, в том числе обработка сигналов прерывания с этих устройств.

Микропроцессор - сложное цифровое электронное устройство. К основным элементам, влияющим на временные характеристики выполнения программ, относятся: форматы и системы команд микропроцессора; длительность выполнения разных команд; имена (или номера) программно-доступных регистров (так называются регистры, которые могут использоваться в составляемых программах); длина разрядной сетки (разрядность); правила адресации внешних устройств и особенности выполнения операций ввода-вывода; размер адресного пространства; схема обработки прерываний.

Перечисленные элементы образуют основу архитектуры микропроцессора и в совокупности представляют собой модель микропроцессора. Для разных типов микропроцессоров существует своя модель.

Рис. 2. Микропроцессор и его связи с основной памятью.

В состав микропроцессора входят: устройство управления (УУ), арифметическо-логическое устройство (АЛУ) и набор регистров.

Устройство управления предназначено для управления работой всех компонентов микропроцессора и обеспечения должного взаимодействия различных компонентов друг с другом. Управление осуществляется с помощью импульсных сигналов, посылаемых УУ на соответствующие входы управляемых компонентов. Кроме того, УУ может получить ответные сигналы с управляемых компонентов.

Физически УУ представляет собой цифровую электронную схему, на вход которой поступают коды подлежащих выполнению операций, а выходом являются серии импульсных управляющих сигналов. Таким образом, восприняв код той или иной операции, УУ формирует цепочку управляющих сигналов и подает их в нужные точки микрокомпьютера.

Число выходов УУ, по которым выдаются управляющие сигналы, обычно довольно велико. Например, УУ, показанное на рис. 3, имеет 16 выходов.

Рис.3. Устройство управления микропроцессора.

Надо иметь в виду, что импульсные сигналы на выходах в общем случае появляются не одновременно, а со сдвигом во времени. Так, УУ на рис.3 может выдать импульс сначала на выходе 3, затем на выходе 1, следом - одновременно на выходах 2 и 5, потом на выходе 4 и т.д. После выдачи последнего импульса в данной цепочке управляющих сигналов текущая операция считается законченной, и вслед за этим на вход УУ может быть подан код новой операции.

Арифметико-логическое устройство предназначено для исполнения арифметических и логических операций. Основу АЛУ составляет операционный блок - цифровое электрическое устройство, которое может настраиваться на различные операции и непосредственно осуществлять их. Настройка операционного блока на конкретную операцию и последовательность шагов ее выполнения обеспечивается с помощью управляющих сигналов УУ.

Регистры являются важными элементами микропроцессора. Регистр - это электронное цифровое устройство для временного запоминания информации в форме двоичного числа, или кода. Запоминающим элементом в регистре является триггер, который может находиться в одном из двух состояний. Одно из этих состояний соответствует запоминанию двоичного нуля, другое - запоминанию двоичной единицы. В общем случае регистр содержит несколько связанных друг с другом триггеров - по одному триггеру на каждый запоминаемый разряд двоичного числа. Число триггеров в регистре называется разрядностью регистра. Например, регистр из восьми триггеров - это 8-разрядный, или 8-битовый, регистр (так как каждый разряд регистра обеспечивает хранение одного бита информации).

Регистры, используемые не только для хранения информации, но и для ее преобразования, называются управляемыми. Например, управляемый регистр может осуществлять замену всех хранящихся в нем двоичных единиц нулями, а нулей - единицами (операция инвертирования кода), прибавление единицы к числу, хранящемуся в регистре, вычитание единицы и т.п. Операции над числом в регистре реализуются с помощью управляющих сигналов от УУ.

Многие регистры специализированны по своей функции. Так существует регистр-аккумулятор, или просто аккумулятор, программный счетчик, регистр команд, регистр адреса памяти и т.д. Аккумулятор входит в АЛУ и предназначен для хранения одного из операндов перед выполнением операции в АЛУ или для кратковременного запоминания результата операции. Операнд - это данное, используемое в текущей операции. Например, в операции суммирования операндами являются оба слагаемых.

Программный счетчик (счетчик команд, регистр адреса команды) служит для формирования и запоминания адреса очередной выполняемой команды. После выполнения каждой команды программный счетчик содержит адрес следующей команды, по которому эта команда хранится в памяти компьютера.

Регистр команд используется для хранения кода текущей выполняемой команды. Входящий в состав команды код операции используется, как уже говорилось, для формирования в УУ определенной серии управляющих сигналов, зависящей от конкретного кода операции. Оставшаяся часть кода команды может содержать информацию об адресах операндов, участвующих в выполнении данной команды.

Регистр адреса памяти служит для запоминания адреса команды, операнда или результата операций в память. Регистр адреса памяти может входить не в состав микропроцессора, а в состав элементов памяти компьютера.

Изменить роль специализированных регистров или даже узнать их содержимое программным путем нельзя, т.е. эти регистры, как говорят, программно-недоступны. Но в состав микропроцессора входят и регистры, которые программист может использовать в своей программе. Такие регистры микропроцессора называют программно-доступными. Состав и назначение их различны в разных типах микропроцессоров. Однако среди них почти всегда имеется регистр слова состояния процессора (РССП) и несколько регистров общего назначения (РОН).

Регистр слова состояния процессора хранит слово состояния процессора (ССП), отражающее информацию о состоянии микропроцессора и выполняемой им программы в каждый данный момент времени. В частности, в РССП обычно запоминаются признаки результата выполнения команды (отрицательного результата, переполнения разрядной сетки и т.п.). Таким образом, хотя РССП и предназначен для особых функций, он программно-доступен, т.е. с помощью соответствующих команд, заложенных в программу, можно читать и даже частично изменять его содержимое.

Регистры общего назначения обычно не имеют конкретного функционального назначения. Программист может в своей программе задействовать их так, как он считает нужным. Например, результат выполнения некоторой команды можно не посылать в основную память, а временно запомнить в каком-нибудь РОНе с тем, чтобы позднее, в другой команде, использовать этот результат. Чтобы отличить РОНы друг от друга, им присвоены уникальные имена (или номера), которые и записываются в программе. Существуют микропроцессоры, в которых РОНы применяются и для специальных целей. Например, один из РОНов может выполнять функции программного счетчика, или счетчика команд, хранящего в каждый момент времени адрес очередной команды программы, другой - функции указателя стека, необходимого при обработке прерываний и т.д.

На персональных компьютерах используются микропроцессоры фирмы Intel, а также совместимые с ними фирм AMD, Cyrix, IBM. Исторически на IBM PC-совместимых компьютерах применялись и применяются следующие микропроцессоры: Intel-8088, 80286, 80386 (модификации SX и DX), 80486 (модификации SX, SX2, DX, DX2, DX4), Pentium, Pentium Pro, Pentium II (и его модификации Celeron и т.д.). Основная память. Основная память - важнейший компонент персонального компьютера. Название «основная» отличает эту память от внешней памяти, которая организуется на некотором внешнем устройстве (например, на НГМД). Это название говорит о том, что микропроцессор может обрабатывать только те данные, которые хранятся в основной памяти. Основная память обычно состоит из двух частей - ОЗУ и ПЗУ.

Оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) обеспечивает чтение находящихся в нем данных и запись в него новых данных. В компьютерах ОЗУ обычно реализуется как энергозависимая память, т.е. такая память, содержимое которой разрушается («стирается») при выключении питания компьютера. Часто для обозначения оперативной памяти используют аббревиатуру RAM (random access memory), т.е. память с произвольным доступом. Микросхемы ОЗУ собираются в блоки различной емкости. Наиболее распространены емкости 16, 32, 64 и 128 мегабайт. В зависимости от способа работы микросхем памяти они бывают SIMM или DIM, последние наиболее распространены. Для убыстрения доступа к оперативной памяти на быстродействующих компьютерах используется еще и дополнительная специальная сверхбыстродействующая память, так называемая кэш-память. Она хранит копии наиболее часто используемых участков оперативной памяти и как бы занимает промежуточное положение между микропроцессором и оперативной памятью. Кэш-память может располагаться или внутри микропроцессора, или в виде отдельной платы. Так микропроцессоры серий 486 и Pentium содержат небольшую внутреннюю кэш-память. Часто кэш-память, располагаемую отдельно от микропроцессора называют кэш-памятью второго уровня (level two cache, L2 cache). В микропроцессоре Pentium Pro,например, кэш-память второго уровня содержится в едином с ним корпусе. Микропроцессоры 486 серии и Pentium обычно оснащаются кэш-памятью емкостью 256 Кбайт.

Постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) обеспечивает только чтение данных, которые однажды были записаны в ПЗУ. Таким образом, содержимое ПЗУ не может быть изменено компьютером, оно постоянно (отсюда и название вида памяти). Это устройство создается как энергозависимая память: ее содержимое не «стирается» при выключении питания компьютера. Запись нужных данных в ПЗУ осуществляется на специальных устройствах, вне компьютера. В ПЗУ обычно помещаются некоторые особо важные или не подлежащие изменению программы и разнообразные константы. Такой вид памяти часто называют ROM (read only memory), или память только для чтения. Поскольку большая часть этих данных, программ связана с обслуживанием ввода-вывода, то часто содержимое ПЗУ называют BIOS (Basic Input-Output System), базовая система ввода-вывода. В компьютере имеется также небольшой участок полупостоянной памяти для хранения параметров конфигурации компьютера. Ее называют CMOS-памятью. Содержимое этой памяти не изменяется при выключении компьютера, так как ее питание осуществляется от небольшого специального аккумулятора. Для изменения значения параметров конфигурации компьютера в BIOS имеется специальная программа SETUP.

Страницы: 1, 2, 3, 4