Многие крупные проекты, такие как строительство дома, изготовление станка, разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета и т.д., можно разбить на большое количество различных операций (работ). Некоторые из этих операций могут выполняться одновременно, другие -- только последовательно: одна операция после окончания другой. Например, при строительстве дома можно совместить во времени внутренние отде-лочные работы и работы по благоустройству территории, однако возводить стены можно только после того, как будет готов фундамент.

Задачи планирования работ по осуществлению некоторого проекта состоят в определении времени возможного окончания как всего проекта в целом, так и отдельных работ, образующих проект; в определении резервов времени для выполнения отдельных работ; в определении критических работ, то есть таких работ, задержка в выполнении которых ведет к задержке выполнения всего проекта в целом; в управлении ресурсами, если таковые имеются и т.п.

Пусть некоторый проект W состоит из работ V1,...,Vn; для каждой работы Vk, известно, или может быть достаточно точно оценено время ее выполнения t(Vk). Кроме того, для каждой работы Vk известен, возможно пустой, список ПРЕДШ(Vk) работ, непосредственно предшествующих выполнению работы Vk. Иначе говоря, работа Vk может начать выполняться только после завершения всех работ, входящих в список ПРЕДШ(Vk).

Для удобства, в список работ проекта W добавим две фиктивные работы s и p, где работа s обозначает начало всего проекта W. а работа p -- завершение работ по проекту W. При этом будем считать, что работа s предшествует всем тем работам vW, для которых список ПРЕДШ(v) пуст, иначе говоря, для всех таких работ vW положим ПРЕДШ(v)={s}. Положим далее ПРЕДШ(s) =, ПРЕДШ(p)={vW: v не входит ни в один список ПРЕДШ(w)}, то есть считаем, что работе p предшествуют все те работы, которые могут выполняться самыми последними. Время выполнения работ s и p естественно положить равными нулю: t(s)=t(p)=0.

Весь проект W теперь удобно представить в виде сети G=(V,E,c). Ориентированный взвешенный граф G=(V,E,c) называется сетью. Сеть может быть представлена матрицей весов дуг, массивами смежностей СЛЕД или ПРЕДШ, или списками СЛЕД[v] или ПРЕДШ[v]. При этом записи в списках смежности состоят из трех компонент: поля имени узла, поля веса соответствующей дуги и поля ссылки на следующую запись), где сеть G=(V,E,c) определим по правилам:

V=W, то есть множеством узлов объявим множество работ;

E={(v,w) : vПРЕДШ(w)}, то есть отношение предшествования задает дуги в сети;

c(v,w)=t(w).

Так построенную сеть G часто называют сетевым графиком выполнения работ по проекту W. Легко видеть, что списки смежностей этой сети ПРЕДШ[v] совпадают с заданными для проекта списками предшествующих работ ПРЕДШ(v).

Понятно, что сетевой график любого проекта не должен содержать контуров. Действительно, пусть узлы Vk1,Vk2,...,Vkr=Vk1 образуют контур в сети G. Это означает, что работа Vk2 не может на-чаться раньше, чем будет завершена работа Vk1, работа Vk3 -- раньше, чем завершится работа Vk2, и т.д., и, наконец, Vkr = Vk1 -- раньше, чем будет завершена работа Vkr-1. Но тогда никакая из работ Vk1,...,Vkr никогда не сможет быть выполнена. А каждый реальный проект должен допускать возможность его завершения. Следовательно, в сетевом графике нет контуров.

Отсутствие контуров в сети G позволяет пронумеровать работы проекта W таким образом, чтобы для каждой дуги (Vi,Vj) сети G выполнялось условие i<j, то есть каждая дуга идёт из узла с меньшим номером в узел с большим номером. Осущест-вить такую нумерацию узлов сети G можно с помощью алгоритма топологической сортировки. Поэтому в дальнейшем будем считать, что узлы в сети G топологически отсортированы.

Конечной целью построения сетевой модели является получе-ние информации о возможных сроках выполнения как отдельных работ, так и о возможном сроке выполнения всего проекта в це-лом. Обозначим через PBЫП(v) (соответственно PHAЧ(v)) наиболее ранний возможный срок выполнения работы v (соответственно наиболее ранний возможный срок начала работы v). Удобно считать, что PBЫП(s)=PHAЧ(s)=0. Поскольку на-чать выполнять работу v можно только после того, как будут выполнены все работы, предшествующие данной работе v, то получим следующие формулы для расчета значений PHAЧ(v) и PBЫП(w):

PHAЧ(v) = МАКС{PBЫП(w): wПРЕДШ(v)},

PBЫП(v)= PHAЧ(v) + t(v).

Значение PBЫП(p) дает наиболее ранний возможный срок завершения всего проекта в целом. Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики РНАЧ и РВЫП.

АЛГОРИТМ 1.

Данные: Сетевой график G работ V, заданный списками ПРЕДШ(v), vV.

Результаты: Наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), vV.

Объявить возможные ранние сроки начала РНАЧ(v) и выполнения РВЫП(v) работ равными нулю. Текущей вершиной объявить первую вершину vk=v1.

Всем вершинам v предшествующим текущей вершине vk, значение РНАЧ(vk) присвоить максимум из значений РВЫП(v) и РНАЧ(vk). Значение РВЫП(vk) положить равным значению РНАЧ(vk) плюс время выполнения самой работы текущей вершины t(vk).

Если имеется следующая вершина (работа) после текущей, то объявить ее текущей вершиной vk, иначе перейти в Шаг 5.

Вернуться в Шаг 2.

Выдать наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), vV, конец работы алгоритма.

Пусть T -- плановый срок выполнения проекта W. Ясно, что Т должно удовлетворять неравенству Т >= РВЫП(Vn+1).

Через ПВЫП(v) (соответственно ПНАЧ(v)) обозначим наиболее поздний допустимый срок выполнения (начала) работы v, то есть такой срок, который не увеличивает срок Т реализации всего проекта.

Значения возможных и допустимых сроков выполнения работ позволяют определить резервы времени для выполнения той или иной работы. Полный резерв (иногда его называют суммарный) времени выполнения работ определяется по формуле:

PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v).

Значение PE3EPB(v) равно максимальной задержке в выпол-нении работы v, не влияющей на плановый срок Т. Понятно, что справедливо и такое равенство: РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v).

Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Через любую такую работу проходит некоторый мак-симальный s-p-путь в сети G. Критические работы характеризуются тем, что любая задержка в их выполнении автоматически ведет к увеличению времени выполнения всего проекта.

Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики ПВЫП и ПНАЧ.

АЛГОРИТМ 2.

Данные: Сетевой график G работ V, заданный списками ПРЕДШ(v), vV, плановый срок окончания проекта - Т.

Результаты: Наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП(v) и ПНАЧ(v).

Объявить для всех работ vV значение наиболее позднего срока выполнения работ равным Т - значению планового срока окончание проекта и вершину vp фиктивной работы p объявить текущей vk.

Присвоить значение ПНАЧ текущей работы vk равным значению ПВЫП работы и вычесть время выполнения текущей работы.

Присвоить значению ПВЫП(v) для всех работ vПРЕДШ(v) предшествующих текущей работе vk минимальное значение из значений ПВЫП выполнения роботы v или ПНАЧ выполнения текущей работы vk, если таковых нет перейти в Шаг 4.

Если имеется предыдущая вершина (работа) к текущей, то объявить её текущей, иначе перейти в Шаг 6.

Перейти в Шаг 2.

Выдать наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП(v) и ПНАЧ(v), конец работы алгоритма.

Проиллюстрируем работу приведенных алгоритмов на следующих примерах:

Пример 1: Проект гаража для стоянки автопогрузчиков.

n	Наименование работы	Предшеству-ющие работы	Время вы-полнения t(vk)
1	Начало проекта (фиктивн. работа)	Нет	0
2	Срезка растительного слоя грунта	1	5
3	Монтаж каркаса	2	30
4	Обшивка стен профнастилом	3	15
5	Кровля из профнастила	3	12
6	Заполнение проема воротами	4	5
7	Масляная окраска ворот и профнастила	5,6	10
8	Щебёночное основание под полы	7	3
9	Асфальтовое покрытие	8	3
10	Уборка строительного мусора после строит.	7	3
11	Конец проекта (фиктивная работа)	9,10	0

Рис 1. Проект гаража для стоянки автопогрузчиков.

Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений РНАЧ(v) и РВЫП(v), vV равными нулю. Текущая вершина vk=1.
2	Вершин предшествующей первой нет. РВЫП(1)=РНАЧ(1)+t(1). {РНАЧ(1) стало равным 0}
3	Текущая вершина vk=2.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+t(2) {РВЫП(2) стало равным 5}.
3	Текущая вершина vk=3.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+t(3) {РВЫП(3) стало равным 35}.
3	Текущая вершина vk=4.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 35} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+t(4) {РВЫП(4) стало равным 50}.
3	Текущая вершина vk=5.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 35} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+t(5) {РВЫП(5) стало равным 47}.
3	Текущая вершина vk=6.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 50} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+t(6) {РВЫП(6) стало равным 55}.
3	Текущая вершина vk=7.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47} РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 55} РВЫП(7)=РНАЧ(7)+t(7) {РВЫП(7) стало равным 65}.
3	Текущая вершина vk=8.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 65} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+t(8) {РВЫП(8) стало равным 68}.
3	Текущая вершина vk=9.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 68} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+t(9) {РВЫП(9) стало равным 71}.
3	Текущая вершина vk=10.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 65}
3	Текущая вершина vk=11.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}
3	Переход в Шаг 5.
5	Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ.

Таблица результатов работы алгоритма.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
РНАЧ(v)	0	0	5	35	35	50	55	65	68	65	71
РВЫП(v)	0	5	35	50	47	55	65	68	71	68	71

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=71. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений ПВЫП(v), vV равным Т. Текущая вершина vk=11.
2	ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)-t(11) {ПНАЧ(11) стало равным 71}.
3	ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 71} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 71}
4	Текущая вершина vk=10.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 68}
3	ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(7) стало равным 68}
4	Текущая вершина vk=9.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)-t(9) {ПНАЧ(9) стало равным 68}
3	ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(8) стало равным 68}
4	Текущая вершина vk=8.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)-t(8) {ПНАЧ(8) стало равным 65}
3	ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(7) стало равным 65}
4	Текущая вершина vk=7.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)-t(7) {ПНАЧ(7) стало равным 55}
3	ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 55} ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 55}
4	Текущая вершина vk=6.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)-t(6) {ПНАЧ(6) стало равным 50}
3	ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 50}
4	Текущая вершина vk=5.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)-t(5) {ПНАЧ(5) стало равным 43}
3	ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 43}
4	Текущая вершина vk=4.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)-t(4) {ПНАЧ(4) стало равным 35}
3	ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 35}
4	Текущая вершина vk=3.
5	Переход в шаг 2.
2	ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)-t(3) {ПНАЧ(3) стало равным 5}
3	ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
4	Текущая вершина vk=2.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)-t(2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
3	ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
4	Текущая вершина vk=1.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)-t(1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
3	Переход в Шаг 4.
4	Переход в Шаг 6.
6	Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ.

Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE3EPB(v)=ПНАЧ(v)-PHAЧ(v) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v).

Работы	РНАЧ	РВЫП	ПНАЧ	ПВЫП	Резерв
1	0	0	0	0	0
2	0	5	0	5	0
3	5	35	5	35	0
4	35	50	35	50	0
5	35	47	43	55	8
6	50	55	50	55	0
7	55	65	55	65	0
8	65	68	65	68	0
9	68	71	68	71	0
10	65	68	68	71	3
11	71	71	71	71	0

Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=71.

Пример 2: Проект склада сажи и других материалов в помещение производственного цеха.

n	Наименование работы	Предшеству-ющие работы	Время вы-полнения t(vk)
1.	Начало проекта (фиктивн. работа)	Нет	0
2.	Монтаж металлоконструкций нижней обвязки каркаса	1	5
3.	Устройство бетона под стойки	2	3
4.	Монтаж стоек	3	10
5.	Монтаж опорных столиков	4	5
6.	Монтаж балок	2	7
7.	Монтаж металлоконструкций ворот	6	7
8.	Обшивка стен и кровли волнистым листом	6	12
9.	Монтаж козлового крана	7	5
10.	Устройство асфальтобетонных покрытий	8	5
11.	Конец проекта (фиктивн. работа)	5,9,10	0

Рис 2. Проект склада сажи и других материалов в помещение производственного цеха.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений РНАЧ(v) и РВЫП(v), vV равным нулю. Текущая вершина vk=1.
2	Вершин предшествующей первой нет. Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+t(1).
3	Текущая вершина vk=2.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+t(2) {РВЫП(2) стало равным 5}.
3	Текущая вершина vk=3.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+t(3) {РВЫП(3) стало равным 8}.
3	Текущая вершина vk=4.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)} {РНАЧ(4) стало равным 8} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+t(4) {РВЫП(4) стало равным 18}.
3	Текущая вершина vk=5.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(5)} {РНАЧ(5) стало равным 18} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+t(5) {РВЫП(5) стало равным 23}.
3	Текущая вершина vk=6.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(6)={РВЫП(2),РНАЧ(6)} {РНАЧ(6) стало равным 5} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+t(6) {РВЫП(6) стало равным 12}.
3	Текущая вершина vk=7.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)} {РНАЧ(7) стало равным 12} РВЫП(7)=РНАЧ(7)+t(7) {РВЫП(7) стало равным 19}.
3	Текущая вершина vk=8.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 12} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+t(8) {РВЫП(8) стало равным 24}.
3	Текущая вершина vk=9.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(9)} {РНАЧ(9) стало равным 19} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+t(9) {РВЫП(9) стало равным 24}.
3	Текущая вершина vk=10.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(10)} {РНАЧ(10) стало равным 24} РВЫП(10)=РНАЧ(10)+t(10) {РВЫП(10) стало равным 29}.
3	Текущая вершина vk=11.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)} {РНАЧ(11) стало равным 24} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(10)}{РНАЧ(11) стало равным 29} РВЫП(11)=РНАЧ(11)+t(11) {РВЫП(11) стало равным 29}.
3	Переход в Шаг 5.
5	Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ.

Таблица результатов работы алгоритма.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
РНАЧ(v)	0	0	5	8	18	5	12	12	19	24	29
РВЫП(v)	0	5	8	18	23	12	19	24	24	29	29

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=29. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений ПВЫП(v), vV равным Т. Текущая вершина vk=11.
2	ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)-t(11) {ПНАЧ(11) стало равным 29}.
3	ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 29} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 29}.
4	Текущая вершина vk=10.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 24}.
3	ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(8) стало равным 24}
4	Текущая вершина vk=9.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)-t(9) {ПНАЧ(9) стало равным 24}.
3	ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(7) стало равным 24}.
4	Текущая вершина vk=8.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)-t(8) {ПНАЧ(8) стало равным 12}.
3	ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(6) стало равным 12}.
4	Текущая вершина vk=7.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)-t(7) {ПНАЧ(7) стало равным 17}.
3	ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 12}.
4	Текущая вершина vk=6.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)-t(6) {ПНАЧ(6) стало равным 5}.
3	ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(2) стало равным 5}.
4	Текущая вершина vk=5.
5	Переход в шаг 2.
2	ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)-t(5) {ПНАЧ(5) стало равным 24}.
3	ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(4) стало равным 24}.
4	Текущая вершина vk=4.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)-t(4) {ПНАЧ(4) стало равным 14}.
3	ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 14}.
4	Текущая вершина vk=3.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)-t(3) {ПНАЧ(3) стало равным 11}.
3	ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}.
4	Текущая вершина vk=2.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)-t(2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}.
3	ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}.
4	Текущая вершина vk=1.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)-t(1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}.
3	Переход в Шаг 4.
4	Переход в Шаг 6.
6	Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ.

Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v).

Работы	РНАЧ	РВЫП	ПНАЧ	ПВЫП	Резерв
1	0	0	0	0	0
2	0	5	0	5	0
3	5	8	11	14	3
4	8	18	14	24	10
5	18	23	24	29	5
6	5	12	5	12	0
7	12	19	17	24	7
8	12	24	12	24	0
9	19	24	24	29	5
10	24	29	24	29	0
11	29	29	29	29	0

Из таблиы видно, что критическими работами являются 1, 2, 6, 8, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=29.

Пример 3: Проект водоснабжения и наружной канализации при застройки квартала по ул. Токарей-Синяева в г. Екатеринбурге.

n	Наименование работы	Предшеству-ющие работы	Время вы-полнения t(vk)
1.	Начало проекта (фиктивн. Работа)	Нет	0
2.	Разработка грунта экскаваторами с ковшом 0.5 м3 с погрузкой на автомобили-самосвалы.	1	16
3.	Зачистка дна и стенок с выкидкой грунта.	2	10
4.	Монтаж водопроводных колодцев	1	32
5.	Монтаж плит перекрытий из легкого бетона.	3	21
6.	Пробивка в бетонных стенах и полах отверстий.	5	5
7.	Оклейка плит рубероидом и гидроизолом на нефтебитуме в 1 слой.	4,5	14
8.	Заделка сальников при проходе труб через фундаменты или стены подвалов.	5	10
9.	Монтаж скоб.	6	7
10.	Устройство стяжек цементных.	9	5
11.	Конец проекта. (фиктивн. Работа)	7,8,10	0

Рис 3. Проект водоснабжения и наружной канализации при застройки квартала по ул. Токарей-Синяева в г. Екатеринбурге.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений РНАЧ(v) и РВЫП(v), vV равным нулю. Текущая вершина vk=1.
2	Вершин предшествующей первой нет. Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+t(1).
3	Текущая вершина vk=2.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)}{РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+t(2) {РВЫП(2) стало равным 16}.
3	Текущая вершина vk=3.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)}{РНАЧ(2) стало равным 16} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+t(3) {РВЫП(3) стало равным 26}.
3	Текущая вершина vk=4.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 0} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+t(4) {РВЫП(4) стало равным 32}.
3	Текущая вершина vk=5.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 26} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+t(5) {РВЫП(5) стало равным 47}.
3	Текущая вершина vk=6.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 47} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+t(6) {РВЫП(6) стало равным 52}.
3	Текущая вершина vk=7.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47 РВЫП(7)=РНАЧ(7)+t(7) {РВЫП(7) стало равным 61}.
3	Текущая вершина vk=8.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(8)}{РНАЧ(8) стало равным 47} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+t(8) {РВЫП(8) стало равным 57}.
3	Текущая вершина vk=9.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 52} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+t(9) {РВЫП(9) стало равным }.
3	Текущая вершина vk=10.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 59} РВЫП(10)=РНАЧ(10)+t(10) {РВЫП(10) стало равным 64}.
3	Текущая вершина vk=11.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 61} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало рвным 61} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 64} РВЫП(11)=РНАЧ(11)+t(11) {РВЫП(11) стало равным 64}.
3	Переход в Шаг 5.
5	Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ.

Таблица результатов работы алгоритма.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
РНАЧ(v)	0	0	16	0	26	47	47	47	52	59	64
РВЫП(v)	0	16	26	32	47	52	61	57	59	64	64

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=64. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений ПВЫП(v), vV равным Т. Текущая вершина vk=11.
2	ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)-t(11) {ПНАЧ(11) стало равным 64}.
3	ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(7) стало равным 64} ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(8) стало равным 64} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(9) стало равным 64}.
4	Текущая вершина vk=10.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 59}.
3	ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(10)} {ПВЫП(9) стало равным 59}.
4	Текущая вершина vk=9.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)-t(9) {ПНАЧ(9) стало ранвым 52}.
3	ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(6) стало равным 52}.
4	Текущая вершина vk=8.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)-t(8) {ПНАЧ(8) стало равным 54}.
3	ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(5) стало равным 54}.
4	Текущая вершина vk=7.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)-t(7) {ПНАЧ(7) стало равным 50}.
3	ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 50} ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(4) стало равным 50}.
4	Текущая вершина vk=6.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)-t(6) {ПНАЧ(6) стало равным 47}.
3	ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 47}.
4	Текущая вершина vk=5.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)-t(5) {ПНАЧ(5) стало равным 26}.
3	ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 26}.
4	Текущая вершина vk=4.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)-t(4) {ПНАЧ(4) стало равным 18}.
3	ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(1) стало равным 18}.
4	Текущая вершина vk=3.
5	Переходв Шаг 2.
2	ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)-t(3) {ПНАЧ(3) стало равным 16}.
3	ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 16}.
4	Текущая вершина vk=2.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)-t(2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}.
3	ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}.
4	Текущая вершина vk=1.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)-t(1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}.
3	Переход в Шаг 4.
4	Переход в Шаг 6.
6	Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ.

Работы	РНАЧ	РВЫП	ПНАЧ	ПВЫП	Резерв
1	0	0	0	0	0
2	0	16	0	16	0
3	16	26	16	26	0
4	0	32	18	50	32
5	26	47	26	47	0
6	47	52	47	52	0
7	47	61	50	64	3
8	47	57	54	64	10
9	52	59	52	59	0
10	59	64	59	64	0
11	59	64	64	64	0

Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=64.

Литература:

1. Асанов М. О. «Дискретная оптимизация», УралНАУКА, Екатеринбург 1998.