Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Исследование колебаний механической системы

с одной степенью свободы»

по разделу «Динамика»

Кафедра теоретической механики

Рецензия

На курсовую работу

Студента __Кисова Ивана____________

(фамилия, имя, отчество)

Группы _121142__________________

Вариант № ___ количество страниц

Курсовая работа по содержанию соотве-

тствует / не соответствует выданному

заданию и выполнена в полном / не в

полном объеме.

КР может быть допущена к защите с

добавлениембаллов рецензента

после успешной защиты.

Рецензент_______ /_____________

(Ф.И.О.)

«____»_____________200 г.

ТУЛА 200

Оглавление

Аннотация

Содержание задания

1. Применение основных теорем динамики механической системы

Постановка второй основной задачи динамики

Определение закона движения системы

Определение реакций внешних и внутренних связей

Построение алгоритма вычислений

Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода

Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа

Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода

Анализ результатов

Список использованной литературы

Аннотация

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F0 * sin(pt).

Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тnp,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей

Содержание задания

Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).

Исходные данные:

M1, М2,М3 - массы тел механической системы.

с - жесткость упругого элемента.

г2 - радиус блока 2.

R3, Гз -радиусы ступеней катка 3.

i2 - радиус инерции блока 3.

µ - коэффициент сопротивления.

Fo -- амплитуда возмущающей силыm1= 3mm2= mm3= m m4= 2m

r2=r R2=3rr3=rr4=2r

i2=2r Xo=6 см Xo= 0 см/c

m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F 0 = 50 Н F(t)= F 0 sin(pt) c= 4000 Н/м м=100Н*с/м

R= - мV

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.1. Постановка второй основной задачи динамики

Рис. 1 Расчётная схема

На рис. 1 обозначено:

P1,P2,P3 - силы тяжести, N1, N2 - нормальная реакция опорной плоскости,

Fупр - упругая реакция пружины,

Fсц - сила сцепления с опорой,

Y2,X2, - реакции подшипника блока 2,

R = - µ*V сила вязкого сопротивления,

F(t)- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

dT

dt= ?Nek + ?Nik (1-1)

где Т- кинетическая энергия системы,

?Nek - сумма мощностей внешних сил,

?Nik -сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:

T= T1+T2+T3.(1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

T1= 1/2 m1*х21(1.3)

где Vl - скорость груза 1.

Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

T2=1/2*m2* х22+1/2*Jc2 щ 22(1.4)

где

Jn2 = m2*i22: - момент инерции относительно центральной оси блока;

щ2- угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение,

T3=1/2*Jc3 щ 23 где jc3=1/2 m3*r23 (1.5)

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение

T =1/2*m4 *vc42 +1/2*Jc4 * щ 42 где Jc4 = Ѕ*m4 *r4 2

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

T=1/2m1х12+ 1/2m2 *vc22 +1/2*Jc2 щ 22 + 1/2*Jc3 щ 23 + 1/2*m4 *vc42 + 1/2*Jc4 *щ 42 (1.6)

Выразим хn3.,щ2,щ3 через скорость груза 1

vc2 = х1=х=S; => щ 3= (R2 + r2)*v/R 3*V3 vc4 =щ 4* r 4 = (R2 + r2)*v/2R2 (1.7)

щ 2 =v/r 2

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V2 за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc2 т пр /R2 2 + Jc3 * (R2 - r 2 ) 2 / R2 * r 2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + Jc4(R2 - r 2 ) 2 /4r22 R2 2 )* х2

T=1/2m трv3 2(1-8)

т пр =m +m2 +m3 1/ R2 2 + 1/2m3 (R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22

т пр=8, 21кг(1-9)

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

dT/dt= т пр - S*S(1.10)

вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:

N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

?N'=0(1.12)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N4, ,Y3,X3,P3,Fвд. Сумма мощностей внешних сил:

N=F*V+pV-RV+p2V2-Fупр*V4

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1-13) N= F(t)*V1 +p1 V1 -RV1 + p2V1 -Fупр V1 * R2 +r2 /2R2 ,

N =( F(t) +p1 - R +p2 - Fупр R2 +r2 /2R2)V1 , или

N= Fпр * V

Где Fnp приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ѓст и динамического S4 удлинений

Fупр=с(ѓст + S4 ) (1-15)

Сила вязкого сопротивления R =м V = м S тогда

Fпр = F(t)+p1 - м*S+ p 2 - c(ѓст + R2 +r2 /2R2 * S) R2 +r2 /2R2 , (1-16)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.

Пологая в (1-16) , что S='S=0 и F(t)= 0 получаем условие равновесия

Fпр = p + p2 = c *ѓст= R2 +r2 /2R2 =0, (1-17)

Отсюда статистическое удлинение пружины равно:

- c *ѓст R2 +r2 /2R2 = -p1- p ;

ѓст R2 +r2 /2R2 =(p 1 + p 2 )/c => ѓст =(p 1 + p 2 )/c* 2R2 / R2 +r2

ѓст =1/c (p 1 + p2) * 2R 2/R2 +r2 ; (1-18)

Подставляем выражение (1-18) в, (1-16) получаем окончательное выражение для приведенной силы .

ѓпр = F(t) + p1 +p2 - мS - c* R2 +r2 /2R 2 *1/c (p 1 + p2)* *2R 2/R2 +r2- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S

ѓпр = F(t) - мS- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S; (1-19)

Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;

mпр =S=- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S- мS+ F0 sin(pt) (1-20)

S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt) ; (1-21)

Где k циклическая частота свободных колебаний ;

n = м/2* mпр =100/2*8.21= 6.1с -1 ;

n - показатель степени затухания колебаний ;

k= R2 +r2 /2R2 c/mпр =

1.2 Определение закона движения системы

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

F = F0-Sm{pt),(2.1)

Где Fo - амплитуда возмущающей силы,

р - циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=Sод+S . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:

S + 2*n*S + kz*S = 0;.(2.2)

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

L2+2*n*L + k2! =0,

L 1.2 = -n +- n 2 -k 2 ;

т.к n <k ,=> решение однородного уравнение имеет вид :

S ос =a * e *sin (k 1 *t +в ), где k 1 = k 2 -n 2 ; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

k 1 =18,31с -1 ;

Sт= A* sin (pt) + B*cos(pt); далее получаем:

(A(k2 - p2 )- 2npB)*sin(pt) + (2 npA +B(k2 - p2 ) )cos(pt)= F0 /mпр *sin(pt);

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева , получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В

A(k2 - p2 )- 2npB = F0 /mпр решая эту систему получаем следующие выражения

2npА + В(k2 - p2 )= 0

A= k2 - p2 / (k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; А= 0.011м;

B= - 2np/(k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; B= -0.002м;

Общее решение дифференциального уравнения :

S= бe -nt sin (k 1 t в) + Asin (pt) + B cos(pt);

S= бe -nt (-nsin(k 1 t+в) +k 1 cos(k 1 t+в)) +Apcos(pt) - Bpsin(pt);

Постоянные интегрирования б и в определяем из начальных условий

S 0 = б sin(в) + B ;

t =0 имеем

S 0 = б(- nsin (в) + k 1 cos (в)) + Ap

решая эту систему получаем :

б= (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1/k 2 1 б= 0.045;

в= arctg k 1 (S 0 -B) 2 / S 0 +n(S 0 - B)- Ap в=1.2;

1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей

Рис.2

Рис. 2

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 2).

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетической момента и теорема об изменения количества движения.

Тело№1 бm1 V1 /dt= p1 + T12 S +F+R; на ось s : m1S 1=p1+F-R-T12 ;

Тело№2 бm2 V2 /dt= p2+ T21 +T20+ T23; на ось s : m2S =p2+ T21 -T20 -T23

т.к V2 = V1=V=S=>dV1/dt= dV2/dt;dl2z =?M2 z

dJc2щ/dt= T20 R- T23 r 2 ;

Тело№3 dl 3z /dt=?M 3z => dJc3щ 3/dt= T32 r 3 - T34r 3 ;

Бm3 V3/dt=x 3 +y3+p3+T34+T12

на ось 0x3 :0=x3 +T34 ; на ось 0y3 : 0=y3 - p3 - T32 ;

Тело№4 бm4V4 /dt=T 43 +P 4 +N 4 +F cy +F упр ;

на ось 0x4 : m 4 S 4 =T 43 -F упр +F sy

с учетом кинематических соотношений (1-7) полученную систему уравнений преобразуем к виду:

m 1 S= p 1 +F - R-T 12 ; 0 = N 4 - p 4 ; x 3 = T 34 R

m 2 S= p 2 +T 21 - T 20 -T 23 ; y 3 =p 3 +T 34 `

J c2 1/R 2 S = T 20 R 2 - T 23 r 2 ; J c4 m 4 R 2 +r 2 /2R 2 r 4 * S=T 43 *

J c3 R 2 +r 2 /R 2 r 3 S= T 32 r 3 - T 34 r 3 ; *r 4 - F cy r 4 R

m 4 R 2 +r 2 /2R 2 * S= T 43 - F упр +F cy ;

Решая эту систему получаем выражение для определения реакций связей:

T 12 = m g + F 0 sin (pt) - мS - mS x2 = T43

T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32

T 23 = R2 2 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );

T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S

F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 * ( JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);

Часть 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ

2,1 Исходные данные m1 , m2, m3 , m4 , r 2 , R 2, r 3 , r 4 , i2 ,м , F0 , p , S0 , S0 , g ,c.

2,2 Вычисление констант

n = м/2* mпр; k 1 = k 2 - n 2 ;

ѓст =1/c (p 1 + p2) * 2R 2/R2 +r2 ;

A= k2 - p2 / (k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ;

B= - 2np/(k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ;

б= (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1/k 2 1 ;

в= arctg k 1 (S 0 -B) 2 / S 0 +n(S 0 - B)- Ap ;

2,3 Задание начального времени t=0

2,4 Вычисление значений функций в момент времени t

S= бe -nt sin (k 1 t в) + Asin (pt) + B cos(pt);

S= бe -nt (-nsin(k 1 t+в) +k 1 cos(k 1 t+в)) +Apcos(pt) - Bpsin(pt);

S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt) ;

Fупр=с(ѓст + S4 );

2,5 Вычисление реакций связей

T 12 = m g + F 0 sin (pt) - мS - mS x2 = T43

T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32

T 23 = R2 2 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );

T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S

F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 * ( JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);

2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t

2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ?t

2.8 Проверка условия окончания цикла t ? tкон

2,9 Возврат к пункту 2,4

Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжа:

(1)?уAk + ? уA 0k =0;где

? уAk = ?F k у rk- сумма элементарных работ всех активных сил на

возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на

(=1*¦=!

возможном перемещении системы.

Рис.3

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4, X3, Y3, Fcu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

? уA 0k = Aу+ уAp + уAp1 +уAp2 + уAp4 + уAFупр ;

Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:

(2) ? уA 0k = - F пр уS , ?- уA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S - мS + F(t)) *уS;

Найдем возможную работу сил инерции:

? уA 0k = -ц1 уS1 - цуS2 - M2 у ц2 - M3 уц3 - ц4уS4 - M4 ц4у ;

Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции

ц1= m1 a =m1 S; ц4= m4 a 4 = m4 S4; M 4 = J c4 *E 4 = J c4 * ц4;

ц2= m2 a 2 = m2 S 2; M 2 = J c2 *E 2 = J c2 * ц2 ;

ц3=0 ; M 3= J c3 *E 3 = J c3 * ц3 ;

Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать

уS2 = у S; у ц2 = 1/R 2 у S ; у ц3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * уS;

у ц4 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * уS; уS4 = R 2 + r 2 / 2R 2* уS;

S4 = R 2 + r 2 / 2R 2* S

S2 =S ; ц2 = 1/R2 *S; ц3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * S;

ц3 = R 2 + r 2 / 2R 2 r 3 *S;

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :

? уA 0k= -( m1 +m2 + J c21/R 22 + (R 2 + r 2 )2 / R 22 r 3 2 + m4 ( R2+ r 2 )2 / 4R 22

+ J c4(R 2 + r 2 )2 / 4R 22 r 3 2 ) * S у S;

(3) ? уA 0k = - mпр * S у S;

далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем

Поделив это уравнение на уS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1

n = м / 2 mпр = 6.1 c -1

Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением

3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода

Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

d/dt * у T/ уS - у T/ у S (3.3)

где Т -- кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; S - обобщенная координата; S - обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:

(3.4) T=1/2m трv3 2

т пр =m +m2 +m3 1/ R2 2 + 1/2m3 (R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22

Производные от кинетической энергии:

(3.5) у T/ уS= 0; у T/ уS = т пр S ; d/dt * у T/ уS= т пр S;

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение у S (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].

(3.6) ? уA 0k = - F пр уS , ?- уA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S - мS + F(t)) *уS;

С другой стороны для системы с одной степенью свободы:

? уA 0k =Q у S ( 3.7)

Сравнивая два последних соотношения, получаем:

Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S - м*S + F(t).

Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа(3.3), получаем;

Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S - м*S + F0m(pt) ,

S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1

n = м / 2 mпр = 6.1 c -1

Анализ результатов

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тнр,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.

Использованная литература

1. Методические указания к курсовой работе по разделу "Динамика", "Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы". Разработали: профессор Нечаев Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.

2. Яблонский А.А. "Курс теоретической механики." Том 2 - М.: Высшая школа

1984-424 с.

3. Тарг СМ. "Краткий курс теоретической механики" -- М.: Наука, 1988 -- 482 с.22