Рефераты    Главная    Финансовое право    Финансовый менеджмент       финансовая математика    Финансы деньги кредит    Французский    Компьютерные сети    Конституционное право       зарубежныйх стран    Конституционное право       России    Краткое содержание       произведений    Программирование       компьютеры и кибернетика    Производство и технологии    Психология    Разное    Религия и мифология    Трудовое право    Туризм    Уголовное право и процесс    Управление	Финансовые инструменты ("Financial Instruments. Teaching materials of the course") Рассмотрим следующий портфель, который состоит из длинной позиции по акции, длинной позиции по путу и короткой по коллу. При этом все параметры обоих опционов одинаковы. При этом стоимость портфеля на момент наступления срока использования опциона будет следующей:
	Если S<X	Если S≥X
Длинная акция	S	S
Длинный пут	X-S	0
Короткий колл	0	-(S-X)
Весь портфель	X	X

Таким образом, рассматриваемый портфель является безрисковым (в любом случае портфель будет в итоге стоить X), то есть, чтобы определить его стоимость на сегодня мы должны дисконтировать его по безрисковой процентной ставке:

Если S=X, то есть когда ударная цена акции равна текущей цене акции, то получаем следующее равенство:

Поскольку значение eξ всегда больше единицы при любом положительном значении ξ (а произведение rfT у нас даёт всегда положительное число), то значение обоих частей уравнения является положительной. Это означает, что если ударная цена опциона равна текущей цене акции, то колл-опцион всегда будет стоить дороже, чем соответствующий пут.

5.6 Естественные пределы цен опционов.

Цена колла равна значению функции max[0,S-X]. Обратите внимание, что эта цена никогда не меньше значения S-X. При этом цена опциона всегда положительна, что видно даже из уравнения, которое мы вывели в предыдущем пункте.

Максимальное значение колл-опциона очевидно достигается при X=0, то есть когда Вы имеете право приобрести акцию совершенно бесплатно. Поскольку цена опциона равна max[0,S-X], то цена опциона в этом случае на первый взгляд должна вроде бы быть равна текущей цене акции. Но длинная позиция по такому опциону существенно отличается от длинной позиции по самой акции. Если у Вас есть колл-опцион с ударной ценой равной нулю, то это ещё не означает, что Вы являетесь акционером. Если Вы акционер, то у Вас будут такие привилегии акционера как право голоса на собрании акционеров. Это в свою очередь имеет определенную ценность. А если у Вас опцион с X=0, то он должен стоить как минимум немного дешевле, чем сама акция.

Таким образом, цена колл-опциона будет иметь естественные пределы и, графически, множество точек на плоскости (С;S), описывающих возможные значения цены колл-опциона будет описываться системой неравенств: C<S, C≥S-X и C>0. На следующем графике показано как это всё выглядит.

c

                           s-x          s    

Рис. 5.1 Естественные пределы цены опциона.

5.7 Модель Блэка-Шоулза.

Американские профессора Фишер Блэк и Майрон Шоулз разработали модель ценообразования на Европейский колл-опцион в начале 70-х годов. К Блэку и Шоулзу немного позже присоединился Роберт Мертон. Вывод самой формулы требует знания достаточно сложного математического аппарата[16]. Мертон, например был изначально инженером и именно он помог довести модель до завершения используя физико-математические модели, распространённые в ядерной физике.

Нобелевская премия была присуждена всем троим, Блэку посмертно. Тем не менее, за самой формулой закрепилось название модели Блэка-Шоулза. Вот как она выглядит для колл-опциона:

На самом деле, как видно из этой формулы, они в итоге просто пришли к сумме взвешенных определённым образом каждого слагаемого в стандартной формуле C=S-X/(e-rfT). Веса каждого слагаемого, которые часто обозначают как N{d1} для первого и N{d2} для второго элемента являются функциями логнормального распределения[17]. Они, на самом деле, оказывается, имеют очень интересную интерпретацию. Значение d1, оказывается, равно обратному от коэффициента хеджирования, той самой дельты, а d2, оказывается, равно вероятности повышений котировки акции в биномиальной модели.

5.8 Биномиальная модель ценообразования.

Рассмотрим следующую простую ситуацию: акция на текущий момент времени стоит $20 и по истечении трёх месяцев она будет стоить либо $18 либо $22. Предположим, что никакие дивиденды по этой акции не выплачивается и нам доступен колл-опцион на эту акцию с ударной ценой[18] в $21, срок действия которого истекает в конце наших трёх месяцев[19]. Очевидно, что если акция через три месяца будет стоить $22, то наш опцион принесёт прибыль максимум в один доллара, то есть он сегодня будет стоить этот доллар в сегодняшнем значении. А если же акция будет стоить $18 долларов, то опцион не будет использован по предназначению и никакой ценности для своего владельца иметь не будет.

Этот довольно простой аргумент и лежит в основе биномиальной модели ценообразования на производные финансовые инструменты. Единственное предположение, причём довольно реалистичное, которое мы должны сделать - это отсутствие арбитража для инвесторов на финансовых рынках. Мы построим портфель, состоящий из опционов и акций, таким образом, что никакой неопределённости относительно будущей стоимости портфеля не должно быть. А раз портфеля будет иметь нулевой риск, то он обязан заработать для своего держателя безрисковую ставку процента. Зная цену портфеля таким образом мы сможем определить цену опционов.

Рассмотрим портфель состоящий из длинных позиций по ∆ данных акций и короткой позиции по одному колл-опциону на данную акцию. Определим какое значение ∆ количества акций сделает рассматриваемый портфель безрисковым. Если курс акций поднимется с 20 до 22 долларов, то стоимость ∆ акций будет равна 22∆, а стоимость одного колл-опциона будет равен 1 доллару. Поскольку по акциям у нас длинные позиции, а по опциону короткая, то стоимость всего портфеля будет равна 22∆-1 долларов. В случае если котировки акицй упадут с 20 до 18 долларов, то опцион не будет иметь какую-либо ценность, а ∆ акций будут стоить 18∆ долларов. Следовательно, надо найти такое значение ∆, которое приравняет 22∆-1 к 18∆. Решая простое линейное уравнение мы получаем ∆=0.25, что означает, что если мы будем держать портфель из 0.25 акций и продадим один колл опцион с ударной ценой в 21 долларов, то независимо от того повысится курс акций или понизится, стоимость нашего портфеля будет одной и той же (в нашем случае 4.5 долларов).

Безрисковый портфель, при отсутствии арбитража, должен заработать, как мы уже говорили, безрисковую ставку процента. За безрисковую процентную ставку, на практике, обычно берут ожидаемую доходность государственных облигаций. То есть если, например, безрисковая ставка процента равна 12%, то наш портфель сегодня должен будет стоить 4.5е-0.12*0.25=4.367 долларов. Поскольку сейчас наши акции стоят $20, то цену колл-опциона можно определить из следующего уравнения, выражающего цену нашего портфеля: 20*0.25-f=4.367, где переменная f означает цену колл-опциона. Следовательно колл-опцион на наши акции с ударной ценой в $21 будет равна 0.633 доллара.

Таким образом основываясь на двух ожидаемых исходах, зная безрисковую ставку процента и текущую цену на акцию, мы определили цену колл-опциона с заданной ударной ценой.

5.9 Обобщение биномиальной модели.

Теперь рассмотрим примерно то же самое, но в обобщённом виде. Рассмотрим акцию, которая сейчас стоит S и колл-опцион, которая сейчас стоит f. Текущее значение времени t равно нулю. Дивиденды по рассматриваемой нами акции не выплачиваются. Предположим, что опцион сможет обеспечить положительный доход на момент времени T в будущем до конца срока своего действия. Пусть котировка акции может либо подняться с уровня S до уровня Su, тогда доход с опциона составит fu, либо упасть до уровня Sd, тогда доход от опциона составит fd.

Также как и в рассмотренном выше примере, мы имеем портфель из Δ длинных позиций по акции и одной короткой позиции по опциону. Определим значение Δ, которое делает наш портфель безрисковым. Если акции повышаются в цене, то значение портфеля равно SuΔ-fu, если же наоборот они падают, то SdΔ-fd, то есть однозначность этих двух величин и даст нам безрисковый портфель. Решив уравнение SuΔ-fu=SdΔ-fd мы получаем, что:

Для упрощения введём переменные u и d, которые равны процентным или долевым ожидаемым изменениям котировки нашей акции. То есть u=Su/S, d=Sd/S, из чего следует, что Su=uS и Sd=dS. Далее мы имеем:

Обозначим элемент (erT-d)/(u-d) через p, тогда -(erT-u)/(u-d) будет равен единице минус p:

В нашем примере, с которого мы начали эту тему мы использовали следующие параметры этого уравнения: u=1.1, d=0.9, r=0.12, T=0.25, fu=1 и fd=0. Подставив эти значения в формулу Вы должны получить 0.633.

Казалось бы, чем больше вероятность того, что акция будет стоить в будущем дороже, тем более ценным представляется опцион дающий владельцу право приобрести акцию по зафиксированной сегодня цене. Обратите внимание, что в нашей формуле нет вероятностей повышения и понижения котировки акции. На первый взгляд, это труднообъяснимо. Дело в том, что цена на акцию на любой момент времени уже отражает все ожидания рынка относительно будущих потоков наличности корпорации[20]. Имея дело с текущей и ожидаемыми котировками на акции мы уже включаем вероятности изменения цены на акцию в ту или иную сторону в нашу модель ценообразования на опцион.

5.10 Многопериодные модели.

То, что мы рассматривали до сих пор, имело дело только с одним временным периодом. В реалии же всё выглядит гораздо сложнее и биржевые спекулянты используют в своих моделях множество временных периодов. Мы рассматривали один квартал, то есть четверть года. Биржевики же проводят на торговом полу по несколько часов в день, а если они оперируют на международных рынках, то они следят за рынками и функционируют на них чуть ли не круглосуточно.

В любом случае логика биномиального метода ценообразования на опционы одна и та же. Естественно, у биржевиков каждый временной период очень мал, количество периодов огромно и они используют вычислительные машины, в которые уже введены формулы, и достаточно Вам внести необходимые параметры как машина даст Вам цену опциона.

На практике, чаще всего, срок действия опциона делят как минимум на 30 равных по долготе временных интервалов, что означает, что начинается калькуляция как минимум с 230 расчётов ожидаемых исходов относительно ценового значения акции.

Тема 6. Форварды и Фьючерсы.

6.1 Форварды.

Форвард – это соглашение между двумя сторонами, где оговаривается, что в определенный момент в будущем одна сторона обязуется поставить второй стороне определенное количество определенного товара (или эквивалент стоимости в деньгах если поставка самого товара по каким-то причинам не осуществима).  При этом покупатель обязуется заплатить указанную в контракте сумму. После подписания такого контракта обе стороны имеют обязательство выполнить условия этого контракта.

Проблем с определением срока и объемов поставки быть не должно, а вот определение цены является немного более трудной задачей поскольку цены динамично меняются во времени и принятие на себя обязательства продать или купить что-то в будущем по сегодня оговоренной цене связано с определенным уровнем риска для обеих сторон. Тем не менее, оказывается, существуют реальная будущая цена на товары.

Предположим мы продаем по форварду что-то, то есть мы обязуемся поставить n-ое количество чего-то в будущем (пусть будет через год) по сегодня оговоренной цене, скажем, сегодня этот товар отпускается по цене S за единицу. Чтобы предостеречь себя от рыночного риска мы можем сейчас занять в «добром» банке сумму n*S и купить этот товар сегодня.  Через год у нас этот товар купят по сегодняшней форвардной цене, скажем F за единицу. Таким образом, нам гарантирована выручка равная n*F. Из этой суммы мы погашаем долг банку равный (1+r)S. То есть через год наша чистая прибыль на единицу товара составит  F-(1+r)S. Поскольку начали мы свою операцию без денег, то мы должны завершить ее с нулевым итогом, иначе получается, что мы делаем деньги без какого либо риска[21]. Другими словами:

Отсюда находим форвардную цену, которая равна:

Или говоря более серьезным теоретическим языком:

Если цена указанная в форвардном контракте отличается хоть чуть-чуть от этого, то какая-то из сторон сможет и будет зарабатывать большие суммы денег практически не принимая на себя риск. В основе этого лежит так называемый принцип отсутствия арбитража. Есть здесь также и предположение, что процентная ставка неизменна на протяжении всего времени.

6.2 Фьючерсы.

Стандартизированные форвардные контракты, которыми широко спекулируют на финансовых рынках стали, называть фьючерсами. Они (а именно потоки наличности связанные с исполнением этих контрактов) ежедневно корректируются с учетом ценовых изменений на рынке. Это означает следующее.

Пусть мы приобретаем по трехмесячному фьючерсу нефть по цене €30 за баррель. На следующий день фьючерсная цена по идентичному контракту становится €31 за баррель, в таком случае мы выигрываем один евро потому что на момент наступления срока исполнения контракта мы заплатим только €30. Получается, что поставщик нам должен один евро, потому что реально его товар (нефть) будет стоить €31 (согласно нынешним рыночным ожиданиям) на момент исполнения контракта. Если же цена упала бы на один евро и стала €29, то, соответственно, мы должны были бы должны поставщику этот один евро. Фьючерсные рынки устроены таким образом, что в итоге непосредственной поставки товара не происходит, а происходит клиринг потоков наличности. Поставка самого товара по фьючерсному контракту осуществляется крайне редко.

Если Вы просмотрите страницы Wall Street Journal, то увидите, что не на все товары есть фьючерсные рынки. На такие товары как пшеница, кукуруза и овес есть, а на ячмень и рожь нет (хотя где-то в середине 20 века они были). Например на табак и сено никогда не было фьючерсного рынка, а на яйца когда-то фьючерсный рынок процветал. Почему же на некоторые товары эти фьючерсные есть, а на некоторые нет?

Финансы, как наука, предлагает три существенных объяснения на этот вопрос. Во-первых, для того чтобы возник и существовал фьючерсный рынок на данный товар, необходимо, чтобы имелось очень большое количество данного товара, что на экономиях масштаба позволило бы заметно снизить трансакционные издержки, после чего рынок бы активизировался. Во-вторых, необходимо, чтобы ценовые показатели на данный товар варьировались в достаточной степени для того, чтобы у участников рынка появилось желание принимать позиции с целью хэджирования и спекулирования. Еще Кейнс и Хикс, в своих работах, утверждали, что товаропроизводители негативно относятся к риску и поэтому готовы платить, чтобы хэджировать против будущих колебаний цен на свою продукцию. Спекулянты же, в свою очередь, готовы принять на себя этот риск с целью заработать. Если бы не было ценовых колебаний, то не было бы и риска как для производителей так и для спекулянтов, а значит не было бы и рынка на контракты подобные фьючерсным.

И наконец, уже во второй половине 20 века получила распространение идея о том, что между самими производителями и потребителями должны существовать форвардные или фьючерсные соглашения для того, чтобы привлечь спекулянтов. Производители, качественные и ценовые характеристики товаров которых близки к рыночным вряд ли будут склонны к осуществлению фьючерсных сделок. А вот те, у которых эти показатели отличаются от рыночных наверняка захотят хэджировать.

6.3 Механика фьючерсных сделок.

Процесс осуществления фьючерсных сделок выглядит намного сложнее по сравнению с обычной куплей или продажей акций. Когда Вы покупаете акцию, Ваш брокер просто выступает в роли посредника на фондовой бирже. Во фьючерсных же сделках очень важную роль играют клиринговые дома или клиринговые центры.

Эти клиринговые дома фактически покупают контракт у продавца и продают его Вам. Схематично весь процесс можно представить как на рисунке 6.1. Это делается для того, чтобы гарантировать обеим сторонам исполнение контракта. Клиринговый дом гарантирует покупателю поставку определенного количества товара или эквивалент его фьючерсной стоимости в денежном выражении, а продавцу – оплату его поставки. Фактически позиция клирингового дома остается нейтральной, но при этом клиринговый дом остается единственным лицом, который несет потери в случае если какая-то из сторон не выполняет взятые на себя обязательства согласно фьючерсному контракту.

6.3 Хеджирование при помощи фьючерсов

Компания, которая знает, что будет продавать свой товар на какой-то определенный момент в будущем, может хэджировать свои будущие денежные потоки принимая короткие фьючерсные позиции. Это называется короткий хэдж. Аналогично, компания, знающая, что будет в будущем приобретать что-то, может создать длинный хэдж. Необходимо при этом осознавать, что хэджирование при помощи фьючерсов не является идеальным вариантом, ликвидирующим риск. Все, что он делает – это уменьшает риск в определенной степени. Есть несколько причин, по которым фьючерсы могут оказаться далеко не идеальным инструментом хэджирования:

1)              товар, будущие сделки по которому Вы хотите хэджировать, может не быть абсолютно идентичным товару, по которому доступны фьючерсные контракты;

2)              сейчас, возможно не будете знать с точностью до даты когда именно Вы захотите осуществить куплю-продажу;

3)              хэджирование, зачастую в Ваших же интересах, может потребовать от Вас закрыть Ваши фьючерсные позиции до наступления срока исполнения контракта.

Все это создает то, что называется базисный риск.

Базис определяется как разница между спот-ценой и фьючерсной  ценой данного товара, будущие сделки по которому Вы хотите хэджировать. Иногда, например, в финансовой литературе базис определяют наоборот как разницу между фьючерсной и спот-ценой.

Казалось бы, на первый взгляд, что для того, чтобы хэджировать относительно будущих ценовых колебаний, лучше всего зафиксировать всю ценовую стоимость контракта сегодня. Но оказывается это не самый оптимальный вариант для хэджирования. Рассмотрим почему.

Базисный риск можно представить как дисперсию или стандартное отклонение следующих функций:

где S – это спот-цена, а F – фьючерсная цена. При этом:

где DS – это изменение спот-цены, а DF – фьючерсной. Если мы на какую-то долю, которую обозначим через h, от общего объема купли-продажи в будущем заключим фьючерсную сделку, то наша дисперсия, то есть риск, будет иметь следующий вид:

Отсюда первая производная будет равна:

Теперь нетрудно догадаться, что значение h, которое минимизирует[22] дисперсию, а поэтому и риск, равно:

Здесь переменная h называется коэффициентом хэджирования. Он показывает на какую долю будущей фактической сделки необходимо сегодня совершить фьючерсную для того, чтобы обеспечить наиболее эффективный хэдж, то есть минимизировать имеющийся риск.

6.4 Альтернативное определение коэффициента.

Представьте, что Вы рассматриваете компанию, денежные потоки которой подвержены риску колебаний обменного курса и цены на нефть. После того, как Вы соберёте достаточное количество данных: котировки акций по месяцам, обменные курсы и цены на нефть, Вам скорее всего потребуется провести регрессионный анализ с целью определения значений коэффициентов b1 и b2 в следующем уравнении:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5