Методы экономического программирования

-    Возможны и другие причины несопоставимости.

При анализе временных рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего вычисляют скорость развития этого явления во времени. Показателем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

                                                               (20)

где        yi — i-й уровень временного ряда (i = 2, 3, ..., n);

индекс  k = 1, 2, ..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования:

при k = 1 получаются цепные показатели,

при k = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т.д.

Величина, характеризующая скорость, т.е. прирост в единицу времени, носит название среднего абсолютного прироста:

                                                              (21)

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

                                                               (22)

и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.

Для определения относительной  скорости изменения изучаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста).

Коэффициент роста для i-гo периода вычисляется по формуле:

                                                                (23)

Ki(p) > 1, если уровень повышается; Ki(p)< 1, если уровень понижается; при Ki(p)=1 уровень не меняется.

Коэффициент прироста равен

                                                            (24)

или

                                                           (25)

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

                                                         (26)

где Ti(p) - темп прироста для i-го периода;

Ti(пp)= Ti(p) – 100%                                                         (27)

или

                                                    (28)

где Ti(пp) — темп прироста для i-гo периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах.

Важной характеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динамики с равноотстоящими во времени уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведется по всем периодам наблюдения):

                                                             (29)

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:

                                                           (30)

где t - число периодов времени, при которых значение уровня yt не изменяется. Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

                                       (31)

где n - число уровней ряда.

При анализе временных рядов часто возникает необходимость, кроме определения основных характеристик ряда, оценить зависимость изучаемого показателя yt от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2) и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом yt и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину . Такая функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

                            (32)

Задавая различные значения = 1, 2, 3,..., получаем последовательность значений

r1, r2, r3,…

 На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве

от  n/4  до  n/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания, с которым изменение показателя yt сказывается на его последующих значениях. Величина сдвига , которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.

В ряде случаев используется упрощенная формула для вычисления коэффициента автокорреляции:

,                                                     (33)

где  средний уровень ряда (см. формулу (32)).

2.4 Прогнозирование экономических показателей.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:

1)            предварительный анализ данных;

2)            формирование набора моделей (например, набора кривых роста), называемых функциями-кандидатами;

3)            численное оценивание параметров моделей;

4)            определение адекватности моделей;

5)            оценка точности адекватных моделей;

6)            выбор лучшей модели;

7)            получение точечного и интервального прогнозов;

8)            верификация прогноза.

Прогноз на основании трендовых моделей  (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t = n + 1; t = n + 2 и т.д. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки. Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т.е. указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой  величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

Интервальный прогноз на базе трендовых моделей осуществляется путем расчета доверительного интервала - такого интервала, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения прогнозируемого экономического показателя. Расчет доверительных интервалов при прогнозировании с использованием кривых роста опирается на выводы и формулы теории регрессий. Методы, разработанные для статистических совокупностей, позволяют определить доверительный интервал, зависящий от стандартной ошибки оценки прогнозируемого показателя, от времени упреждения прогноза, от количества уровней во временном ряду и от уровня значимости (ошибки) прогноза.

2.4.1.Трендовые модели на основе кривых роста.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики - на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образований одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

-    временной   ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

-    общие   условия,   определявшие   развитие   показателя   в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

2.4.1.1. Выбор типа кривых роста.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

 (полином первой степени)

 (полином второй степени)

 (полином третьей степени)

и т.д.

Параметр а1 называют линейным приростом,

параметр а2 - ускорением роста,

параметр а3 - изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле ut = yt - yt-i  , t = 2, 3, ..., n, то они будут постоянной величиной и равны а1.

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u2, u3, …  на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты  для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле  будут постоянной величиной.

Можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

-    от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

-    значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

                                                                   (34)

где a и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы - функция убывает.

Модифицированная экспонента имеет вид

                                                                (35)

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной   экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем   ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать неко торого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

                                                                     (36)

где а, b  -  положительные  параметры, причем   b меньше единицы;

параметр k - асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором - прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции - линейная функция времени. На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой  используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида - возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

;                                                            (37)

другие виды этой кривой:

;   .                                           (38)        

где а и b — положительные параметры;

k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд   y1 , y2 , … ,  yn .

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

;

;                                                                     (39)

.   .   .   .   .   .   .   .    

.

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного ря­да вычисляются дисперсии по следующим формулам:

для исходного ряда

        ;                                              (40)

для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...)

     ;                                                      (41)

где - биномиальный коэффициент.

Производится сравнение отклонений каждой последую­щей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины

 ,                                                              (42)

и если для какого-либо k эта величина не превосходит неко­торой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

 ,                                                          (43)

причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам

  ,     .                           (44)

Затем вычисляются первые средние приросты

, t = 2, 3, … , n-1;                                                (45)

вторые средние приросты

,                                                              (46)

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

;   ;   ;   .

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

Таблица 1

Выбор кривой роста в соответствии с изменением приростов и производных показателей

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

2.4.1.2. Методы определения параметров отобранных кривых роста.

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени

  система нормальных уравнений имеет вид:

;

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда. Аналогичная система для полинома второй степени

имеет вид

,

 ,                                                                                 (48)

;

и т.д.

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты    предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):

т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

Если значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др. Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда.

Страницы: 1, 2, 3, 4