Затем
находим дисперсии исходного ряда (k=0) по формуле (40), и для разностных рядов (k=1,2,3,4) по формуле (41). После этого вычисляем отклонение каждой
последующей дисперсии от предыдущей по формуле (42). Значения этих величин
приведены в таблице 3.
Таблица 3
Значения
дисперсий и отклонений для исходного ряда и приростов.
k
0
54,0444
1
7,72222
46,3222
2
5,85417
1,86806
3
6,11429
0,26012
4
6,22143
0,10714
Как
можно видеть, разности дисперсий уменьшаются с увеличением k и при k=3 достигают приемлемых величин, следовательно,
ряд можно аппроксимировать функцией степени k-1=2.
Однако
следует исследовать данный временной ряд также методом характеристик
прироста, т.к. этот метод, являясь более универсальным, может наложить
более строгое условие на степень полиномиальной кривой.
Вначале
требуется произвести сглаживание исходного временного ряда простой скользящей
средней. В литературе [1], рекомендуется использовать интервал сглаживания m=3. Значения сглаженного временного ряда
рассчитываются по формулам (43) и (44). Далее вычисляются первые и вторые
средние приросты по формулам (45), (46). Соответствующие значения временного
ряда и приростов приведены в таблице 4.
Таблица 4
Значения
исходного и сглаженного рядов, а также приросты для сглаженного ряда.
t
yt
yt
(cглаженная
m=3)
1
43
43,16666667
2
47
46,66666667
3,5
3
50
48,33333333
1,6667
-1,83
4
48
50,66666667
2,3333
0,667
5
54
53
2,3333
0
6
57
57,33333333
4,3333
2
7
61
59
1,6667
-2,67
8
59
61,66666667
2,6667
1
9
65
62
0,3333
-2,33
10
62
63,5
1,5
1,167
На
графике 3 сопоставлены исходный и сглаженный временные ряды:
график 3. Совмещенный график исходного и сглаженного
временных рядов.
Первый
и второй приросты не имеют тенденции к изменению и колеблются около средних
значений 2,259 и -0,25 соответственно. Следовательно, согласно таблице 1, можно
использовать полином первого порядка, коэффициенты которого находятся по методу
наименьших квадратов.
Метод
наименьших квадратов описан в п. 2.4.1.2. Подставляя значения из таблицы 2 в
систему уравнений (47) получаем:
откуда находим a0
и a1:
a0=34,8
a1=3,6
Таким образом,
В таблице 5 приведены исходные и расчетные
значения временного ряда:
Таблица 5
Расчетные
и реальные значения временного ряда.
t
(расчетн)
yt
1
38,4
43
2
42
47
3
45,6
50
4
49,2
48
5
52,8
54
6
56,4
57
7
60
61
8
63,6
59
9
67,2
65
10
70,8
62
Ниже на графике 4 изображены расчетные и
реальные значения временных рядов:
график 4.Расчетные и реальные значения временного
ряда
3.3. Адекватность и точность модели
Как отмечалось в
п.2.4.1.3, трендовая модель признается адекватной, если остаточная компонента
(формула (49)) удовлетворяет свойствам случайной компоненты. Таким образом,
необходимо проверить:
независимость
значения уровней случайной компоненты
3.3.1.
Случайность колебаний уровней остаточной последовательности будет
осуществляться по критерию пиков (поворотных точек) по формулам (53) и (54).
Подсчет
числа поворотных точек можно осуществить визуально по графику 5 исходя из
условий (52) и (52’).
εt
t
график 5. Остаточная последовательность εt.
По
графику 5 видно, что точки 2,4,5,6,7,8,9 являются поворотными, следовательно: .
Из
формулы (53) получаем ;
.
Подставляя
полученные значения в условие (54) имеем: 7>[2,9], что говорит о случайном
характере отклонений уровней временного ряда от тренда для критерия случайности
с 5%-ным уровнем значимости.
3.3.2.
Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения
проверяется с помощью исследования показателей асимметрии и эксцесса по
формулам (55) и (56).
Получаем:
, ;
,
Исходя
из полученных данных видно, что выполняется условие (57):
< ;
< ,
поэтому гипотеза о
нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.
3.3.3.
Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю выполняется по
формуле (60). Выполняя расчет, находим: t=0, что полностью удовлетворяет коэффициентам статистики Стьюдента.
3.3.4.
Независимость значения уровней случайной компоненты проверяется с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле (61). Полученное значение для
заданной последовательности: d=1,037, что попадает в диапазон табличных значений (d1<d<d2) для n=10, k=1, уровень
значимости 5% [4]. Эти данные не позволяют сделать однозначный вывод о
неадекватности модели, однако требуют исследований на больших выборках, что
невозможно выполнить ввиду отсутствия дополнительных статистических данных.
3.3.5.
О точности прогноза построенной трендовой модели (см. п.2.4.1.4) можно говорить
условно, т.к. формулы (62)-(65) показывают точность аппроксимации, а
ретроспективный прогноз не представляется возможным из-за малого числа
наблюдений (n=10). Таким
образом:
В
теоретической части данной работы были рассмотрены некоторые методы
экономического прогнозирования; основное внимание было уделено трендовым
моделям на основе кривых роста, а также предварительному анализу и обработке
временных рядов.
В
практической части по значениям исходного временного ряда была построена
трендовая модель на основе полинома первого порядка, а также определены ее
адекватность и точность. В результате:
1.
Трендовая модель имеет вид: ;
2.
На основании анализа случайной компоненты
полученная модель признана адекватной.
3.
Средняя ошибка аппроксимации попадает в 10%-ный
интервал (6,29%), и таким образом точность модели является удовлетворительной.
4.
Необходимы дополнительные исследования с большим
объемом статистических данных, т.к. только в этом случае возможно неоднократное
применение ретроспективного прогноза, а, следовательно, более точное
определение ошибок прогноза и его верификация.
5.Список
использованных источников.
В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш
«Экономико-математические методы и прикладные методы»
О.О. Замков, А.В. Толстопятенко
«Математические методы в экономике»
Под ред. А.Г. Гранберга «Статистическое
моделирование и прогнозирование»
Главная