Моделирование производственных и экономических процессов

    Найти объемы перевозок каждой пары «поставщик – потребитель» так, чтобы: мощности всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей были удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были бы максимальны.

    Особенности математической модели транспортной задачи:

ü  система ограничений есть система уравнений, то есть задача ЛП в каноническом виде;

ü  коэффициенты при неизвестных системы ограничений равны единицы или нулю;

ü  каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз в систему ограничений поставок, второй раз – в систему ограничений спроса.

Математическая модель транспортной задачи.

Пусть хij – количество груза, перевозимого с i-го в j-й пункт.

Целевая функция:

Система ограничений:

Для решения задачи составляется таблица. В клетки таблицы записывается стоимость соответствующих перевозок сij и в них же заносятся значения перевозок xij, удовлетворяющих поставленным ограничениям. Клетки с не нулевыми перевозками называются базисными, а с нулевыми – свободными. В зависимости от соотношения между запасами и заявками транспортная задача называется сбалансированной или несбалансированной.

Сбалансированная ТЗ:

Несбалансированная ТЗ:

Для сбалансированной ТЗ ограничения принимают вид равенств, то есть получаем m+n ограничений, в которых все переменные линейно зависимы. В результате допустимое решение сбалансированной ТЗ может быть получено, если заполнять клетки транспортной таблицы таким образом, чтобы сумма перевозок в каждой строке  должна быть равна запасам ai, а сумма перевозок в каждом столбце  равна соответствующей заявке вj. Вариантов заполнения транспортной таблицы множество, поэтому искомым решением является то из допустимых решений, для которых общая стоимость перевозок будет минимальной.

Методы решения транспортной задачи.

           Транспортная задача может быть решена симплекс методом. Однако специфическая форма системы ограничений позволяет упростить симплекс метод.

МЕТОД СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА.           Заполнение клеток происходит последовательно по следующему алгоритму: сначала вывозится груз из пункта А1 и завозится в пункт В1, и этой перевозке х11 присваивается максимально возможное значение. Если заявка пункта В1 выполнена, а в пункте А1 еще остается груз, то он вывозится в пункт В2 и т.д. Если в пункте А1 недостаточно было груза для В1, то недостающий груз берется из А2 и т.д.

           После того как спрос потребителя  А1 удовлетворен, он выпадает из рассмотрения и т.д.

           Стоимость перевозки: W=5*15+5*7+25*7+5*4+25*6+10*7+5*4+10*6=605

Существенным недостатком метода северо-западного угла является то, что он построен без учета стоимости перевозок.

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА. Заполнение клеток транспортной таблицы начинается с той клетки, в которой значение минимально. В нее записывается максимально возможное значение перевозки хij, которое может быть равно либо запасу аi, либо заявке вj. Если заявка вj выполнена полностью, то j-й столбец больше не рассматривается. Если не вывезенный груз еще остался, то он вывозится в пункт с наименьшим тарифом.

           Стоимость перевозки: W = 30*4+5*6+15*4+15*5+5*6+25*8+5*6 = 545.

РАСПЕРЕДЕЛЕННЫЙ МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ ПЛАНА ПЕРЕВОЗОК. Для улучшения плана используют цикл транспортной таблицы. Цикл – это несколько клеток, соединенных замкнутой ломанной с прямыми углами.

Изобразим два цикла: А1В1, А1В2, А2В2, А2В1; А1В3,А1В4, А2В4, А2В6, А1В5, А4В5, А4В3.

Каждый цикл имеет четное число вершин и ребер, то есть в таблице в каждой строке или столбце может находтся только четное число клеток, содержащих вершины. Поэтому в клетках-вершинах можно менять значения петевозки так, что в сумма по строкам и столбцам не изменяется. Вершины цикла, в которых увеличиваем перевозки «+», а в которых уменьшаем перевозки «-». Величину изменения обозначим ∆, ее будем перемещать по циклу. Максимальное значение ∆, на которое можно уменьшить перевозку, определяется условием неотрицательности перевозок.

Цена цикла q – это изменение стоимости перевозок при перемещении ∆ по циклу, которая равна разности между суммой стоимостей перевозок, соответствующих «+»-ым вершинам и суммой стоимостей  «-» -ых вершин.

Q1= (с11+с22)-(с12+с21)

Q2 = (с13+с24+с16+с45)-(с14+с26+с15+с43)

При переносе по циклу к единиц груза, стоимость цикла и стоимость плана перевозок измениться на к единиц. Для улучшения плана перевозок нужно найти «-» цикл и переместить по нему максимально возможное количество груза, до тех пор пока таких циклов не останется. Количество груза, которое можно переместить определяется минимальным значением перевозок в «-» вершинах цикла.

Заключение

         Курсовая работа по дисциплине: «Моделирование экономических и производственных процессов» состоит из 3-х глав: задачи линейного программирования, симплексного метода оптимальных продаж, транспортной задачи.

В Главе 1 раскрываются задачи линейного программирования, приведена общая постановка задачи, описана целевая функция и система ограничений, приводятся методы решения задач линейного программирования. Далее описаны основы симплексного метода, который применяется для решения задачи моделирования выпуска кондитерской продукции. Также приведена общая постановка транспортной задачи.

В Главе 2 – приведено решение задачи моделирования выпуска видеотехники симплексным методом. Получено оптимальное распределение поставок видеотехники, при котором целевая функция (стоимость продукции) получила максимальное значение.

В Главе 3 – приведено решение транспортной задачи такими методами, как: метод северо-западного угла, метод минимального элемента по строке, метод минимального элемента по столбцу, метод минимального элемента. Методом потенциалов решена транспортная задача, получено оптимальное минимальное решение.

Литература

1.     Акулич – «Математическое программирование в примерах и задачах»;

2.     Вентцель – «Исследование операций»;

3.     Кремер – «Исследование операций в экономике»;

4.     Кремер – «Математическое программирование»;

5.     Колемаев – «Математические методы принятия решений в экономике»;

6.     Нид – «Линейное программирование».   

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6