Финансово-математические основы инвестиционного проектирования

Финансово-математические основы инвестиционного проектирования

ФИНАСОВО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ.

1. СТОИМОСТЬ ВО ВРЕМЕНИ.

1. 1. Концепция стоимости во времени.

В основе концепции стоимости во времени лежит следующий основной принцип: Доллар сейчас стоит больше, чем доллар, который будет получен в будущем, например через год, так как он может быть инвестирован и это принесет дополнительную прибыль. Данный принцип является наиболее важным положением во всей теории финансов и анализе инвестиций. На этом принципе основан подход к оценке экономической эффективности инвестиционных проектов.

Этот принцип порождает концепцию оценки стоимости денег во времени. Суть концепции заключается в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыльности на денежном рынке и рынке ценных бумаг. В качестве нормы прибыльности выступает норма ссудного процента или норма выплаты дивидендов по обыкновенным и привилегированным акциям. Учитывая, что инвестирование представляет собой обычно длительный процесс, в инвестиционной практике обычно приходится сравнивать стоимость денег в начале их инвестирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли.

В процессе сравнения стоимости денежных средств, при их вложении и возврате, принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость (Present Value) и будущая стоимость (Future Value). Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки.

Определение будущей стоимости связано с процессом наращения (compounding) начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей. В инвестиционных расчетах процентная ставка платежей применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Настоящая (современная) стоимость представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости связано с процессом дисконтирования (discounting), будущей стоимости, который представляет собой операцию обратную наращению. Дисконтирование используется во многих задачах анализа инвестиций.

Таким образом, одну и ту же сумму можно рассматривать с двух позиций:

   а) с позиции ее настоящей стоимости;

   б) с позиции ее будущей стоимости.

Причем, арифметически стоимость в будущем, всегда выше.

1. 2. Элементы теории процентов.

В процессе анализа инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Основная формула теории % определяет будущую стоимость денег:

(1.1), где:

PV - настоящее значение вложенной суммы денег,

FV - будущее значение стоимости денег,

n - количество периодов времени, на которое производится вложение,

r - норма доходности (прибыльности) от вложения (в долях единицы). 

Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать, как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).

Сущность процесса наращения денег не изменяется, если деньги инвестируются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложение денег обеспечивало доход.

Пример. Банк выплачивает 5 % годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле (1.1) 100 $, вложенные сейчас, через год станут:

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит:

или по формуле (1.1):

Процесс наращения стоимости 100 $ по годам можно представить в виде таблицы или диаграммы:

Следует отметить, что процесс наращения не является линейным.

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег определяется с помощью формулы:

(1.2), где:

PV - настоящее значение вложенной суммы денег,

FV - будущее значение стоимости денег,

n - количество периодов времени, на которое производится вложение,

r - норма доходности (прибыльности) от вложения (в долях единицы). 

Которая является простым обращением формулы (1.1).

Пример. Пусть инвестор хочет получить 200 $ через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5 %.

С помощью формулы (1.2) легко определить

Понятно, что формула (1.2) лежит в основе процесса дисконтирования. И в этом смысле величина r интерпретируется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом.

Рассмотренный в примере 2 случай можно интерпретировать следующим образом:

181,41 $ и 200 $ - это два способа представить одну и ту же сумму денег в разные моменты времени – 181,41 $ сейчас равносильно 200 $ через два года.

Процесс дисконтирования наглядно можно продемонстрировать с помощью следующего графика:

В анализе инвестиций величины  и  часто называют соответственно множителями наращения и дисконтирования. Наращение и дисконтирование единичных денежных сумм удобно производить с помощью финансовых таблиц, в которых содержатся множители наращения и дисконтирования, соответственно.

ФУНКЦИИ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА.

В теории и практике оценки финансовая математика используется в основном для расчетов по доходному подходу. Главный принцип - принцип ожиданий, в соответствии с которым оценочная стоимость - это текущая (настоящая) стоимость (PV-Present Value) всех будущих выгод (доходов) от собственности, а также возможной ее продажи в конце периода функционирования. Это связано с тем, что оценщик оперирует денежными потоками в различные периоды времени.

Сложный процент - это экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что в каждом периоде доход приносит не только первоначальная сумма вклада, но и процент от нее.

Для решения той или иной возможной задачи с использованием сложных процентов применяют шесть функций денежной единицы.

PV - текущая стоимость ( Present Value );
FV - будущая стоимость (Future Value);
PMT - платёж (Payment), взнос, выплата;
r - ставка процента за период;
n - число периодов.

Накопленная сумма единицы (фактор накопления).

Текущая стоимость единицы (дисконтный множитель).

Текущая стоимость аннуитета.

Текущая стоимость обычного аннуитета:

Текущая стоимость авансового аннуитета:

Взнос на амортизацию единицы.

Обычный взнос на амортизацию:

Авансовый взнос на амортизацию:

Накопление единицы за период.

Будущая стоимость обычного аннуитета единицы:

Будущая стоимость авансового аннуитета единицы:

Фактор фонда возмещения.

Обычный фактор фонда возмещения:

Авансовый фактор фонда возмещения:

Может также возникнуть вопрос о нахождении количества периодов n, например, согласно функции обычного взноса на амортизацию единицы можно сформулировать условие: кредит в размере PV предоставлен по ставке r % годовых и предусматривает выплату в конце каждого года PMT. Определить срок предоставления кредита.

Из функции обычного взноса на амортизацию единицы нужно выразить величину n:

Умножим числитель, и знаменатель правой части на :

1. 3. Влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег.

В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением времени обесценивает стоимость денежных средств. Это связано с тем, что инфляционный рост индекса средних цен вызывает соответствующее снижение покупательной способности денег.

При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных понятия:

• номинальная сумма денежных средств,
• реальная сумма денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств не учитывает изменение покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств - это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

В финансово-экономических расчетах, связанных с инвестиционной деятельностью, инфляция учитывается в следующих случаях:

• при корректировке наращенной стоимости денежных средств,
• при формировании ставки процента (с учетом инфляции), используемой для наращения и дисконтирования,
• при прогнозе уровня доходов от инвестиций, учитывающих темпы инфляции.

В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:

• темп инфляции t, характеризующий прирост среднего уровня цен в рассмотренном периоде, выражаемый десятичной дробью,
• индекс инфляции I (изменение индекса потребительских цен), который равен 1+t.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле:

(1.3), где:

FVr - реальная стоимость денег;

FVn - номинальная стоимость денег;

I - индекс инфляции (1+t).

Предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r - номинальная ставка процента, которая учитывает инфляцию, то расчет реальной суммы денег производится по формуле:

(1.4)

То есть номинальная сумма денежных средств снижается в   раза в соответствии со снижением покупательной способности денег.

Пример. Пусть номинальная ставка процента с учетом инфляции составляет 50 %, а ожидаемый темп инфляции в год 40 %. Необходимо определить реальную будущую стоимость объема инвестиций 200 000 $ через 2 года.

Подставляем данные в формулу (1.4), получаем:

Если же в процессе реального развития экономики темп инфляции составит 55 %, то:

Таким образом, инфляция “съедает” и прибыльность и часть основной суммы инвестиции, и процесс инвестирования становится убыточным.

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три случая:

1.      r = t: наращение реальной стоимости денежных средств не происходит, так как прирост их будущей стоимости ПОГЛОЩАЕТСЯ инфляцией

2.      r > t: реальная будущая стоимость денежных средств ВОЗРАСТАЕТ, несмотря на инфляцию

3.      r < t: реальная будущая стоимость денежных средств снижается, то есть процесс инвестирования становится УБЫТОЧНЫМ.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОМИНАЛЬНОЙ И РЕАЛЬНОЙ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.

Пусть инвестору обещана реальная прибыльность его вложений в соответствии с процентной ставкой 10 %. Это означает, что при инвестировании 1 000 $ через год он получит:

Если темп инфляции составляет 25 %, то инвестор корректирует эту сумму в соответствии с темпом:

В общем случае, если r - реальная процентная ставка прибыльности, а t - темп инфляции, то номинальная (контрактная) норма прибыльности запишется с помощью формулы

 Величина   имеет смысл инфляционной премии.

Часто можно встретить более простую формулу, которая не учитывает “смешанный эффект” при вычислении инфляционной премии.

Эту упрощенную формулу можно использовать только в случае невысоких темпов инфляции, когда смешанный эффект пренебрежимо мал по сравнению с основной компонентой номинальной процентной ставки прибыльности.

ОТНОШЕНИЕ К ИНФЛЯЦИИ В РЕАЛЬНОЙ ПРАКТИКЕ.

Прогнозирование темпов инфляции очень сложный процесс, протекающий на фоне большого количества неопределенностей. Это особенно характерно для стран с неустойчивым экономическим положением. Кроме того, темпы инфляции в отдельные периоды в значительной степени подвержены влиянию субъективных факторов, слабо поддающихся прогнозированию. Поэтому один из наиболее реально значимых подходов может состоять в следующем: стоимость инвестируемых средств и суммы денежных средств, обеспечивающих возврат, пересчитываются из национальной валюты в одну из наиболее устойчивых твердых валют (доллар США, фунт стерлингов Великобритании, немецкие марки). Пересчет осуществляется по биржевому курсу на момент проведения расчетов.

Процесс наращения и дисконтирования производится в данном случае не принимая во внимание инфляцию. Конкретная процентная ставка определяется исходя из источника инвестирования. Например, при инвестировании за счет кредитов коммерческого банка в качестве показателя дисконта принимается процентная ставка валютного кредита этого банка.

1. 4. Наращение и дисконтирование денежных потоков.

Поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет большую продолжительность в практике анализа эффективности капитальных вложений, обычно приходится иметь дело не с единичными денежными суммами, а с потоками денежных средств.

Вычисление наращенной и дисконтированной оценок сумм денежных средств в этом случае осуществляется путем использования соответствующих формул (1.1) и (1.2) для каждого элемента денежного потока.

Представленный на рисунке денежный поток состоит в следующем: в настоящее время выплачивается:  -2 000 $, в первый, второй и четвертый годы получено: 1 000 $, в третий: 1 500 $.

Элемент денежного потока принято обозначать CFk (Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV (Present Value), а будущее значение - FV (Future Value).

Используя формулу (1.1), для всех элементов денежного потока от 0 до n получим будущее значение денежного потока:

 (1.5)

Пример. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию 1 000 $ в конце каждого года. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Используем формулу будущей стоимости аннуитета:

Таким образом, через 5 лет предприятие накопит 5 525,63 $, которые сможет инвестировать.

В данном случае денежный поток состоит из одинаковых денежных сумм ежегодно. Такой поток называется аннуитетом.

Для вычисления будущего значения аннуитета можно использовать формулу:

  (1.6) которая следует из (1.5) при CFk = const и CF0 = 0.

Расчет будущего значения аннуитета может производиться с помощью специальных финансовых таблиц. В частности, с помощью таблицы при r = 5 % и n = 5 для функции накопления единицы за период (постнумерандо) получаем множитель 5,52563125, который соответствует результату расчета примера.

Дисконтирование денежных потоков осуществляется путем многократного использования формулы (1.2), что в конечном итоге приводит к следующему выражению:

(1.7)

Пример. Рассмотрим денежный поток с неодинаковыми элементами CF1=100, CF2=200, CF3=200, CF4=200, CF5=200, CF6=0, CF7=1,000, для которого необходимо определить современное значение (при показателе дисконта 6%).

Вычисление дисконтированных значений отдельных сумм можно производить путем использования финансовых таблиц.

Дисконтирование аннуитета (CFj = const) осуществляется по формуле:

(1.8)

Для расчета настоящего (современного) значения аннуитета могут быть использованы финансовые таблицы, рассчитанные в EXCEL.

Пример. Предприятие приобрело облигации муниципального займа, которые ежегодно, в конце каждого периода (постнумерандо), приносят ему доход 15 000 $, и хочет использовать эти деньги для развития собственного производства. Предприятие оценивает прибыльность инвестирования получаемых каждый год 15 000 $ в 10 %. Необходимо определить настоящее значение этого денежного потока.

По результатам расчетов мы видим, что

• дисконтированное значение денежного потока существенно меньше арифметической суммы элементов денежного потока,
• чем дальше во времени, тем меньше настоящее значение денег: 15 000 $ через год стоят сейчас 13 636,36 $; 15 000 $ через 5 лет стоят сейчас 9 313,82 $.

Задача может быть решена также с помощью таблицы приложения для функции текущей стоимости аннуитета (постнумерандо). При r = 10 % и n = 5 по таблице находим множитель дисконтирования 3,790786769.

Современное значение бесконечного (по времени) потока денежных средств определяется по формуле:

, (1.9)

которая получается путем суммирования бесконечного ряда, определяемого формулой (1.8) при .

1.5. Сравнение альтернативных возможностей вложения денежных средств с помощью техники дисконтирования и наращения.

Техника оценки стоимости денег во времени позволяет решить ряд важных задач сравнительного анализа альтернативных возможностей вложения денег. Рассмотрим эту возможность на следующем примере.

Пример. Комплексное пояснение к временной стоимости денег.

Рассмотрим поток 1 000 $, который генерируется, какой либо инвестицией в течение 3 лет. Приемлемая расчетная норма прибыльности инвестирования денежных средств предприятия составляет 10 %.

Попытаемся последовательно ответить на ряд вопросов, связанных с различными ситуациями относительно этого потока и его использования.

Вопрос 1. Какова современная стоимость этого потока?

Текущая стоимость аннуитета (декурсивное начисление %, постнумерандо).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17