Финансово-математические основы инвестиционного проектирования

Вопрос 2. Какова будущая стоимость 2 486,85 $ на конец 3 года? (то есть если бы мы вложили сумму 2 486,85 $ в банк на 3 года под r = 10% годовых)?

Накопленная сумма единицы (фактор накопления).

Вопрос 3. Какова будущая стоимость потока денежных средств на конец 3-го года?

Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета (постнумерандо)).

Мы получили одинаковые ответы на второй и третий вопросы.

Вывод очевиден: если мы инвестируем в какой-либо бизнес 2 486,85 $, то эта инвестиция генерирует денежный поток 1 000,00 $ каждый год в течение 3-х лет.

Если эти средства по мере поступления размещаются на депозитном счете под 10 % годовых, то на конец третьего года мы получим ту же сумму 3 310,00 $, как если бы просто вложили 2 486,85 $ в финансовые инструменты под 10% годовых.

Пусть теперь величина инвестиции составляет 2 200,00 $, а генерируемый поток такой же, что приводит к концу третьего года к 3 310,00 $.

Инвестирование 2 200,00 $ в финансовые инструменты под 10% на 3 года принесет 2 928,20 $.

Значит, нам более выгодно инвестировать в данном случае в реальный бизнес, а не в финансовые инструменты.

Вопрос 4. Как изменится ситуация, если норма прибыльности финансового вложения денег станет выше, например 12%.

По-прежнему мы инвестируем 2 486,85 $ в бизнес, и это приводит к потоку денежных средств    1 000,00 $ каждый год в течение 3-х лет. Современное значение этого потока уменьшилось и стало меньше исходной суммы инвестиций.

Текущая стоимость аннуитета (декурсивное начисление %, постнумерандо).

Сравним будущее значение исходной суммы 2 486,85 $ и потока денежных средств, который генерирует инвестирование этой суммы в бизнес:

Накопленная сумма единицы (фактор накопления).

Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета (постнумерандо)).

Выводы, которые можно сделать на основе сравнения этих значений таковы:

a) инвестирование суммы 2 486,85 $ в финансовые инструменты под 12% годовых приведет к 3 493,85 $ через 3 года,

б) инвестирование суммы 2 486,85 $ в бизнес, который генерирует денежный поток 1 000,00 $ каждый год в течение 3-х лет, приведет к 3 374,40 $ к концу 3-го года.

Очевидно, что при норме прибыльности 12% инвестировать в бизнес не выгодно.

Данный вывод имеет простое экономическое объяснение. Дело в том, что инвестирование денег в финансовые инструменты начинает приносить доход сразу же, начиная с первого года. В то же время, инвестирование денег в реальные активы позволяет получить первую 1 000 $ только к концу первого года, и она приносит финансовый доход только в течение оставшихся двух лет. Другими словами, имеет место запаздывание сроков начала отдачи в случае инвестирования в реальные активы по сравнению с инвестицией в финансовые инструменты. И если при норме прибыльности 10 % оба варианта вложения денег равносильны в смысле конечной суммы “заработанных” денег, то увеличение нормы прибыльности делает инвестицию в финансовые инструменты более выгодной.

Возвратимся к количественному сравнению эффективности альтернативного вложения денег. Рассмотрим, насколько выгоднее вкладывать деньги в финансовые инструменты по сравнению с реальными инвестициями в двух временных точках: момент времени “сейчас” и конец третьего года.

В настоящее время поток денежных средств от реальной инвестиции составляет 2 401,83 $ при исходной инвестиции 2 486,85 $. Значит, финансовая инвестиция более выгодна на 85 $.

К концу третьего года финансовая инвестиция принесет: 3 493,85 $, а реальная инвестиция: 3 374,40 $. Разница составляет 119,45 $. Существенно подчеркнуть, что это различие также подчиняется концепции стоимости денег во времени, т.е. продисконтировав 119,45 $ при 12 %, мы закономерно получим 85 $.

Контрольные вопросы и задания

1.      Сформулируйте основной принцип стоимости денег во времени.

2.      В чем экономический смысл концепции стоимости денег во времени?

3.      Что понимается под наращением и дисконтированием денег?

4.      Перечислите четыре основные элемента, связанные между собой в концепции стоимости денег во времени.

5.      В чем экономический смысл нормы доходности инвестирования денег?

6.      Запишите основную формулу теории сложных %.

7.      Как изменяется будущая стоимость денег при увеличении продолжительности инвестирования?

8.      Сформулируйте пример практического использования современного значения денег.

9.      Какая стоимость денег является реальной: современная или будущая?

10.  Как следует корректировать ожидаемые денежные потоки в связи с инфляцией?

11.  Какие основные показатели инфляции используются при корректировке будущей стоимости денег?

12.  Как имея реальную доходность инвестиций и годовой темп инфляции подсчитать номинальную доходность инвестиций?

13.  Когда процесс инвестирования становится невыгодным?

14.  Когда процесс инвестирования становится убыточным?

15.  Что такое смешанный эффект при сопоставлении нормы доходности и темпа инфляции?

16.  Как производится процесс наращения и дисконтирования денежных потоков?

17.  Какой денежный поток называется аннуитетом?

18.  Как определить современное и будущее значения аннуитета?

19.  Что такое бесконечный аннуитет и как рассчитать его современное значение?

20.  Как устроены и зачем используются финансовые таблицы?

21.  Если сравнительная эффективность вложения в реальные активы и финансовые инструменты одинакова, то как она изменится при увеличении нормы доходности?

Задания.

1. Предположим, Вы купили шестилетний 8 % сберегательный сертификат стоимостью 1 000 $. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончанию контракта?

Решение.

Используем формулу наращения денег, т.е. определяем будущую стоимость 1 000 $ через 6 лет при 8 % годовой прибыли:

2. Финансовый менеджер предприятия предложил Вам инвестировать Ваши 5 000 $ в его предприятие, пообещав возвратить Вам 6 000 $ через два года. Имея другие инвестиционные возможности, Вы должны выяснить, какова процентная ставка прибыльности предложенного Вам варианта.

Решение.

Используем основную формулу наращения денег:

откуда следует:

В нашем случае:

Ясно, что если кто-либо предложит Вам инвестировать Ваши деньги, хотя бы под 10 % годовых, Вы отклоните предложение получить 6 000 $ через два года, вложив сейчас 5 000 $.

3. Вам предлагают инвестировать деньги с гарантией удвоить их количество через пять лет. Какова процентная ставка прибыльности такой инвестиции?

Решение.

Используем основную формулу предыдущей задачи, учитывая, что будущее значение какой-либо суммы через пять лет FV5 и ее современное значение PV относятся как 2:1.

4. Предприятие собирается приобрести через три года новый станок стоимостью 8 000 $. Какую сумму денег необходимо вложить сейчас, чтобы через три года иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет:

а) 10 %?

б) 14 %?

Решение.

По условию задачи мы должны определить современное значение стоимости станка 8 000 $ при ставке дисконта 10 %. Используем формулу дисконтирования:

Аналогично для случая б):

Закономерно, что во втором случае сумма вклада получилась меньше.

5. Внедрение инновационных технологий позволит предприятию увеличить доход на 10 000 $ в течение 5 лет, которые будут инвестированы в финансовые инструменты под 10 % годовых. Какую сумму денег предприятие получит через пять лет?

Решение.

По условию задачи предприятие планирует получить аннуитет 10 000 $ в течение пяти лет. Для определения суммы накопленных денег необходимо вычислить будущее значение пятилетнего аннуитета при процентной ставке наращения 10 %. Используем формулу будущего значения аннуитета:

6. Предприятие располагает 160 000 $ и предполагает вложить их в собственное производство, получая в течение четырех последующих лет ежегодно 50 000 $. В то же время предприятие может купить на эту сумму акции одной солидной корпорации, приносящие 12 % годовых.

Какой вариант Вам представляется более приемлемым, если считать что более выгодной возможностью вложения денег (чем под 12 % годовых) предприятие не располагает?

Решение.

Для ответа на вопрос можно воспользоваться двумя способами рассуждения. Сравним будущее наращенное значение аннуитета 50 000 $ при процентной ставке 12 % с будущим значением альтернативного вложения всей суммы 160 000 $ при той же процентной ставке:

Результаты расчетов говорят о том, что покупка акций более выгодна, чем вложение этой же суммы денег в собственное производство.

Возможен другой подход к решению задачи, использующий приведение денежных потоков к настоящему времени. Этот подход более распространен в практике, поскольку он проще. В данном случае мы просто определяем настоящее значение аннуитета 50 000 $ при показателе дисконтирования 12 %:

. Сравнивая полученное значение с суммой имеющихся в настоящее время денежных средств 160 000 $, приходим к такому же выводу: вкладывать деньги в акции солидной компании более выгодно.

Кто-либо может заметить, что численное значение различия альтернативных вариантов вложения в настоящее время 160 000 $ - 151 865 $ = 8 135 $ существенно меньше численного различия через четыре года  251 760 $ - 238 965 $ = 12 795 $.

Это закономерно ввиду феномена стоимости денег во времени. Если мы дисконтируем 12 795 $ на четыре года при показателе дисконта 12%, то получим 8 131 $. Отсутствие абсолютного совпадения объясняется только погрешностью расчетов, связанной округлением долларовых сумм до целых значений.

7. Предприятие рассматривает два альтернативных проекта капитальных вложений приводящих к одинаковому суммарному результату в отношении будущих денежных доходов:

Оба проекта имеют одинаковый объем инвестиций. Предприятие планирует инвестировать полученные денежные доходы под 18 % годовых. Сравните современные значения полученных денежных доходов.

Решение.

Вычислим современные значения последовательностей денежных доходов по каждому проекту, дисконтируя ежегодные доходы при показателе дисконта 18%.

По результатам расчетов можно сделать вывод о предпочтительности второго проекта.

8. Предположим, Вы заключили депозитный контракт на сумму 4 000 $ на 3 года при 12 %. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?

9. Финансовый менеджер предприятия предложил Вам инвестировать Ваши 10 000 $ в его предприятие, пообещав возвратить 13 000 $ через два года. Имея другие инвестиционные возможности, Вы должны выяснить, какова процентная ставка прибыльности предложенного Вам варианта.

10. Предприятие собирается приобрести через пять лет новый станок стоимостью 12 000 $. Какую сумму денег необходимо вложить сейчас, чтобы через пять лет иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет

а) 12 %?

б) 13 %?

11. Предприятие располагает 600 000 $ и предполагает вложить их в собственное производство, получая в течение трех последующих лет ежегодно 220 000 $. В то же время предприятие может купить на эту сумму акции соседней фирмы, приносящие 14 % годовых. Какой вариант Вам представляется более приемлемым, если считать что более выгодной возможностью вложения денег (чем под 14 % годовых) предприятие не располагает?

12. Предприятие рассматривает два альтернативных проекта капитальных вложений приводящих к одинаковому суммарному результату в отношении будущих денежных доходов:

Оба проекта имеют одинаковый объем инвестиций. Предприятие планирует инвестировать полученные денежные доходы под 18 % годовых. Сравните современные значения полученных денежных доходов.

13. Вы имеете 10 000 000 $ и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?

14. Банк предлагает 15% годовых. Чему должен быть равен изначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 5 000 000 $?

15. Какая сумма предпочтительнее при ставке 9 % 1 000 $ сегодня или 2 000 $ через 8 лет?

16. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 000 000 $ при размещении ее в банке на условиях начисления сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды наращения 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

17. Приведены данные о денежных потоках:

Рассчитайте для каждого потока показатели FV при r = 12% и PV при r = 15% для двух случаев: а) потоки имеют место в начале года; б) потоки имеют место в конце года.

18. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета (поступление денежных средств осуществляется в конце соответствующего временного интервала):

План 1: вносится вклад на депозит 500 $ каждые полгода при условии, что банк начисляет 8 % годовых с полугодовым начислением процентов.

План 2: делается ежегодный вклад в размере 1 000 $ на условиях 9 % годовых при ежегодном начислении процентов.

Определите:

а) какая сумма будет на счете через 10 лет при реализации каждого плана?

б) какой план более предпочтителен?

в) изменится ли ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8,5%?

19. Каков ваш выбор - получение 5 000 $ через год или 12 000 $ через 6 лет, если коэффициент дисконтирования равен:

а) 0 %;

б) 12 %;

в) 20 %?

20. Рассчитайте будущую стоимость 1 000 $ для следующих ситуаций:

а) 5 лет, 8% годовых, ежегодное начисление процентов;
б) 5 лет, 8% годовых, полугодовое начисление процентов;
в) 5 лет, 8% годовых, ежеквартальное начисление процентов.

21. Рассчитайте текущую стоимость каждого из приведенных ниже денежных поступлений, если коэффициент дисконтирования равен 12%:

а) 5 000 000 $, получаемые через 3 года;

б) 50 000 000 $, получаемые через 10 лет.

22. Фирме нужно накопить 2 000 000 $, чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8 % при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?

23. Что более предпочтительно - получить 2 000 $ сегодня или 5 000 $ через 8 лет, если коэффициент дисконтирования равен 8 %?

24. Стоит ли покупать за 5 500 $ ценную бумагу, генерирующую ежегодный доход в размере

1 000 $ в течение 7 лет, если коэффициент дисконтирования равен 8 %?

25. Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой деловой операции, которая принесет доход в размере 10 000 000 $ по истечении двух лет.

1.      Выберите один из двух вариантов получения доходов: либо по 5 000 000 $ по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.

2.      Существуют ли такие условия, когда выбор варианта для Вас безразличен?

3.      Изменится ли ваше решение, если доход второго года уменьшится до 4 000 000 $?

Сформулируйте различные условия, при которых вариант единовременного получения дохода может быть предпочтительным.

26. Оплата по долгосрочному контракту предполагает выбор одного из двух вариантов:

25 000 000 $ через 6 лет или 50 000 000 $ через 12 лет. При каком значении коэффициента дисконтирования выбор безразличен?

27. Фирме предложено инвестировать 100 000 000 $ на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 000 000 $); по истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 000 000 $. Примет ли она это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 8 % годовых, начисляемых ежеквартально?

2. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ЦЕННЫХ БУМАГ ПРЕДПРИЯТИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ ГРАФИКОВ ВОЗВРАТА ДОЛГОСРОЧНЫХ КРЕДИТОВ.

2. 1. Оценка стоимости облигаций.

Сначала рассмотрим эту задачу в классическом варианте для так называемых купонных облигаций. Согласно условиям инвестирования в эти долговые финансовые инструменты предприятие эмитент облигаций обязуется производить периодический процентный платеж на годовой или полугодовой основе и погасить номинальную стоимость облигации к назначенному сроку окончания действия облигаций. Купонная облигация имеют следующие характеристики:

• номинальную стоимость,
• срок до погашения,
• процентную ставку,
• условия выплаты процентов (периодичность выплат).

Сущность оценки стоимости облигации состоит в том, что в течение срока существования облигации ее владелец должен получить ту же сумму, которую он вложил в облигацию при покупке. Особенность состоит в том, что совокупность платежей, которые должен получить владелец облигации растянута во времени, и следовательно, все будущие денежные потоки необходимо продисконтировать к моменту времени, для которого производится оценка стоимости облигации. В качестве показателя дисконта необходимо принимать доходность аналогичных финансовых инструментов.

Математическая модель оценки денежной стоимости облигаций основана на дисконтировании денежных потоков, выплачиваемых на протяжении всего срока до погашения. Стоимость облигации в настоящий момент времени равна дисконтированной сумме всех денежных потоков, с ней связанных:

(2.1), где:

SO – текущая стоимость облигации;

INT - годовой процентный платеж;

NO - номинальная стоимость облигаций, она же - стоимость в момент погашения;
rn - доходность облигации;

ra - доходность на рынке ссудного капитала аналогичных облигаций (используется в качестве показателя дисконтирования);

n – (от 1 до t) срок погашения облигации.

Пример. Пусть выпущена облигация со сроком погашения через 20 лет. Номинал облигации равен 1 000 $, а годовая процентная ставка, определяющая величину годового процентного платежа, составляет 14 %. Средняя процентная ставка на рынке облигаций данного типа составляет также 14%. Необходимо найти оценку стоимости облигации?

Поскольку по условию процентный платеж производится один раз в год, величина этого платежа составляет 140 $. На рынке ссудного капитала доходность составляет 14%. Следовательно, для оценки стоимости облигации мы должны привести к настоящему времени все ежегодные процентные платежи и выплату номинала в конце двадцатого года.

Воспользовавшись формулой (2.1), получим:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17